2019届云南玉溪市第一中学高三下学期第五次调研考试数学(理)试题及答案

因为

，故答案为2. 【】

本题考查指对数的互换，含绝对值方程的解法，考查计算化简的能力，属基础题

三、解答题 17．若数列（1）求数列（2）若值． 【答案】（1）【】（1）当（2）由 （1）当当即

或

又

，（

）

或

，

，

时，

或

时，

，则

，

，

，

或

，可求得

（2）3. ，当

时，利用

，即可求出。

的前项和为，首项的通项公式；

，数列

的前项和为，若

恒成立，

,求的最小

且

．

，所以，

，所以

，所以

或

，所以，所以

或

。解得

，，

，令

，代入，运用裂项相消求和法即可求出，即可求出m的最小值。

满足上式，所以

，

，

（2）由

又【】

本题考查数列通项与前n项和的关系、裂项相消求和法及恒成立问题，考查学生计算化简，推理求值的能力，属基础题。

18．某市在2018年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布

．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果

这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组

，第二组

，第六组

，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)试估计该校数学成绩的平均分数；

(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为，求的分布列和期望． 附：若

，则

，

.

【答案】（1）112；（2）.

【】（1）根据频率分布直方图的平均数公式直接计算即可。

（2） 由原则可知，全市前13名的成绩全部在135分以上，结合频率分布直方图可得[125，145]的学生有10人，在135分以上(包括135分)的有4人，写出X可能取值，即可列出分布列，求出期望。

(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋

0.016×10＋0.008×10)＝0.12.

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112. (2)由于故

，根据正态分布得P(120－3×5

，即0.001 3×10 000＝13.

所以前13名的成绩全部在135分以上．

根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10. 所以X的取值为0，1，2，3. 所以

所以X的分布列为

【】

本题考查频率分布直方图中平均数的求法，难点在于掌握平均数的公式，即每组数据的中间值与频率乘积之和、离散型随机变量的分布列与期望、正态分布的原则，意在考查学生分析推理，化简计算的能力，属中档题。 19．如图所示，在四棱锥

中，

底面

，

是直角梯形，

,

0 1 2 3 是的中点．

（1）求证：平面（2）若二面角

平面；

所成角的正弦值．

的余弦值为，求直线与平面

【答案】（Ⅰ）见（Ⅱ）直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．

【】(1)∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC. 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC. ∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC. (2)如图，

以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)， 则E

，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝

.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，

，＝

m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝

＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为