2013年高考理科数学试卷及答案(湖南卷)(Word版)

2012年高考理科数学（湖南卷）参考答案

一、

1—5：BDDCB 6—8：ACD 二、

3 12、3 13、9 14、3 21?11?15、（1）? （2）?100?1? 16、（1）{x|0＜x≤1} （2）①②③

3?216?三、

9、3 10、12 11、

17、解： f（x）=sin（x? =

?6）+cos（x?

?3

）

3113sinx?cosx?cosx?sinx 2222 =3sinx，

x g（x）=2sin2=1?cosx。

2333（Ⅰ）由f（α）=得sinα=，又α是第一象限角，所以cosα>0，从而

5541 g（α）=1?cos?=1?1?sin2?=1?=。

55（Ⅱ）f（x）≥g（x）等价于3sinx≥1?cosx，即3sinx?cosx≥1，于是

?1 sin（x?）≥。

62??5?2?从而2k??≤x?≤2k??，k?Z，即2k?≤x≤2k??，k?Z。

66632?故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2k?≤x≤2k??，k?Z}。

318、解：

（Ⅰ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界

上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果

11C12=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种。 有C3故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概82率为?。

369（Ⅱ）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列。

因为 P（Y = 51）= P（X = 1），P（Y = 48）= P（X = 2）， P（Y = 45）= P（X = 3），P（Y = 42）= P（X = 4），

所以只需求出P（X = k）（k=1，2，3，4）即可。

记nk为其“相近”作物恰有k株的作物侏数（k =1，2，3，4），则 n1=2，n2=4，n3=6，n4=3

n由P（X= k）=k得

N246231P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==。

1515155155故所求的分布列为

Y P 51 2 1548 4 1545 2 542 1 5所求的数学期望为 242134?64?90?42E（Y）=51×+48×+45×+42×==46。

151555519、解法1：

（Ⅰ）如图1，因为BB1?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC?BB1。

又AC?BD，所以AC?平面BB1D。而B1D?平面BB1D，所以AC?B1D。 （Ⅱ）因为B1C1//AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1

所成的角（记为?）。 如图1，边结A1D。因为棱柱ABCD—A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1=∠BAD=90°，

所以A1B1?平面ADD1A1，从而A1B1?AD1。又AD=AA1=3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D?AD1。故AD1?平面A1B1D，于是AD1?B1D。 由（Ⅰ）知，AC?B1D，所以B1D?平面ACD1，故∠ADB1=90???。 在直角梯形ABCD中，因为AC?BD，所以∠BAC=∠ADB。从而

ABBCBC?3。 Rt?ABC～Rt?DAB，故，即AB?DA·?DAAB 连结AB1，易知?AB1D是直角三角形，

且B1D2?BB1?BD2?BB1?AB2?AD2=21，即B1D=21。 在Rt?AB1D中，cos?ADB1?从而sin??21。 721。 72221AD321，即cos(90???)=， ??7B1D721 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为

解法2：

（Ⅰ）易知，AB，AD，AA1两两垂直。如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在

直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB= t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）。 从而B1D=（-t，3，-3），AC=（t，1，0），BD=（-t，3，0）。

BD??t2?3?0?0。解得t?3或t??3（舍去） 因为AC?BD，所以AC·。

于是B1D=（?3，3，-3），AC=（3，1，0）。

因为AC·B1D??3?3?0?0，所以AC?B1D，即AC?B1D。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AD1=（0，3，3），AC=（3，1，0），B1C1=（0，1，0）。 设n =（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，则

??3x?y?0，AC?0，?n· ? 即? 令x?1，则n =（1，?3，3）。

?AD1?0，?3y?3z?0，?n· 设直线B1C1与平面ACD1所成角为?，则 sin??cos(n,B1C1)?n·B1C1n·B1C1?37?21。 721。 7 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为

20、解：设点P的坐标为（x，y）。

（Ⅰ）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|，x?R，y?[0，+∞）。

（Ⅱ）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个

居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值。 ①当y≥1时，d =| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+2| y |+| y-20 |。 因为

d1（x）=| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |

≥| x+10 |+| x-14 |； （*） 当且仅当x =3时，不等式（*）中的等号成立。 又因为

| x+10 |+| x-14 |≥24， （**） 当且仅当x?[-10，14]时，不等式（**）中的等号成立。 所以d1（x）≥24，当且仅当x =3时，等号成立。

d2（y）=2y+| y-20 |≥21，当且仅当y =1时，等号成立。

故点P的坐标为（3，1）时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最

小值为45。

②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以

d = | x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+1+| 1-y |+| y |+| y-20 |。

此时，d1（x）=| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |

d2（y）=1+| 1-y |+| y |+| y-20 |=22-y≥21。

由①知，d1（x）≥24，故d1（x）+ d2（y）≥45，当且仅当x =3， y =1时等号成立。

综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小。 21、解：

pp（Ⅰ）由题意，抛物线E的焦点为F（0，），直线l1的方程为y?k1x?。

22p??y?k1x?22由?2，得x?2pk1x?p?0。

2??x?2py 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则x1，x2是上述方程的两个实数

根。从而

x1+ x2= 2pk1，

y1+ y2= k1(x1+x2)+p = 2pk12+p。

p 所以点M的坐标为（pk1，pk12+），FM=（pk1，pk12）。

2p 同理可得点N的坐标为（pk2，pk22+），FN=（pk2，pk22）。于是

2 FM·FN=p2（k1k2+k12k22）。

k?k22

由题设，k1+k2=2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以0< k1k2<(1)=1。

2 故FM·FN

pp（Ⅱ）由抛物线的定义得FA?y1?，FB?y2?，

2222 所以AB?y1?y2?p?2pk1?2p，从而圆M的半径r1?pk1?p。 故圆M的方程为(x?pk1)2?(y?pk1? 化简得x2?y2?2pk1x?p(2k1?1)y?22p22)?(pk1?p)2， 232p?0。 4232p?0。 422 于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2?k1)x?(k2?k1)y?0。 又k2?k1?0，k1?k2?2，则l的方程为x?2y?0。 因为p>0，所以点M到直线l的距离

127??22p2(k?)??1?2pk1?pk1?pp2k1?k1?148? d?。 ???5557p17p75 故当k1??时，d取最小值。由题设，，解得p?8。 ?458585 故所求的抛物线E的方程为x2?16y。 22、解：

a?xx?a（Ⅰ）当0≤x≤a时，f(x)?；当x>a时，f(x)?。因此，

x?2ax?2a?3a?0，f(x)在（0，a）上单调递减； 当x?（0，a）时，f?(x)?2(x?2a)3a?0，f(x)在（a，+∞）上单调递增。 当x?（a，+∞）时，f?(x)?(x?2a)21 ①若a≥4，则f(x)在（0，4）上单调递减，g(a)?f(0)?。

2 ②若0

14?aa?1 g(a)?max?f(0),f(4)?，而f(0)?f(4)??，故当 ?24?2a2?a4?a1 0＜a≤1时，g(a)?f(4)?；当1＜a＜4时，g(a)?f(0)?。

4?2a2 同理可得圆N的方程为x2?y2?2pk1x?p(2k1?1)y?