江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题16 操作型问题

【考点】作图（应用和设计作图）；等腰三角形的性质；正方形的性质；分类思想的应用．

【分析】分?A是顶角，腰长是3；?A是顶角，底边长是3（底角在AD, AB上）；?A是顶角，底边长是3（底角在BC, CD上）；?A是底角，腰长是3；?A是底角，底边是3五种情况．

3. （2015年江苏扬州10分）如图，将YABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E，连接BE.

（1）求证：四边形BCED'是平行四边形； （2）若BE平分∠ABC，求证：AB2?AE2?BE2.

【答案】证明：（1）如答图，

∵将YABCD沿过点A的直线AE折叠， ∴DE?D'E, ?1??2. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB. ∴?1??3.

∴?2??3. ∴D'E?AD'.∴DE?AD'. ∵YABCD，∴DC?AB.∴EC?D'B. ∴ECD'B. ∴四边形BCED'是平行四边形.

（2）如答图，

∵BE平分∠ABC，∴?4??5.

∵四边形BCED'是平行四边形，∴ED'∥CB. ∴?4??6.∴?5??6. 由（1）?2??3，∴?2??6??3??5?90?，即?AEB?90?. ∴在RtVABE中，由勾股定理，得AB2?AE2?BE2.

【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.

【分析】（1）要证四边形BCED'是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形ABCD是平行四边形可有EC∥D'B；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得EC?D'B，从而得证.

（2）要证AB2?AE2?BE2，根据勾股定理，只要VABE的?AEB?90?即可，而要证?AEB?90?，

一方面，由BE平分∠ABC可得?4??5（如答图，下同）；另一方面，由ED'∥CB可得?4??6，从而得到

?5??6，结合（1）?2??3即可根据三角形内角和定理得到?AEB?90?，进而得证.

4. （2015年江苏常州10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． （1）阅读填空

如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积． 理由：连接AH，EH．

∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°． ∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90° ∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ▲ ． ∴

ADDH2

，即DH=AD×DE． ?DHDE又∵DE=DC

∴DH= ▲ ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积． （2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与YABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． （3）解决问题

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 ▲ （填写图形名称），再转化为等积的正方形． 如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）． （4）拓展探究

2

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，

从而可以化方．

如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

【答案】解：（1）△HDE；AD×DC.

（2）如答图1，矩形ANMD即为与YABCD等积的矩形.

（3）矩形.

如答图2，CF为与△ABC等积的正方形的一条边.

（4）如答图3，△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.

，

【考点】阅读理解型问题；尺规作图（复杂作图）；全等、相似三角形的判定和性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理；转换思想和数形结合思想的应用．

【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；根据等量代换，可得DH=AD×DC，据此判断即可．

（2）过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，以点M为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点N，连接

2

AN，则易证△DCM≌△ABN，因此，矩形ANMD即为与YABCD等积的矩形.

（3）三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形，再转化为等积的正方形．

首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形

BCMN；然后延长BC到E，使CE=CM，以BE为直径作圆．延长CM交圆于点F，则CF即为与△ABC等积的正方

形的一条边．

（4）连接AC，过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E，连接CE，则△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.

5. （2015年江苏淮安12分）阅读理解：