2017-2018版高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理学案苏教版选修1-2

2．1.2 演绎推理

学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

知识点一 演绎推理

思考 违法犯罪都要承担相应的法律责任，盗窃行为都是违法犯罪，所以盗窃行为都要承担相应的法律责任．

上述推理过程是合情推理吗？有什么特点？

1．含义：根据已有的事实和正确的结论(包括________、________、________等)，按照严格的逻辑法则得到__________的推理过程．

2．特点：(1)演绎的前提是______________，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．

(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．

(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化． 知识点二 三段论

思考 前面“知识点一”中的推理中，“一般原理”与“特殊情况”分别指的是什么？

“三段论”是演绎推理的一般模式：

大前提 一般模式 提供了一个____________ 常用格式 M是P 小前提 结论 指出了一个__________ 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系 S是M S是P

类型一 演绎推理

例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B.

反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式．

(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形； (2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线； (3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

类型二 三段论在证明几何问题中的应用 例2 用三段论分析下题的证明过程．

如图，点D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF. 证明过程如下：

∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE， 又∵DE∥BA，

∴四边形AFDE是平行四边形， ∴ED＝AF.

反思与感悟 (1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．

(2)用三段论证明命题的步骤：①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推理过程用“三段论”表示出来．

跟踪训练2 有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为________．

①大前提错误；②小前提错误；③推理形式错误；④非以上错误． 类型三 演绎推理在代数问题中的应用

例3 已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件： ①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0； ②f(1)＝1；

③若“当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立”，则称函数f(x)为“友谊函数”．

(1)若已知函数f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；

(2)函数g(x)＝2－1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由； (3)已知函数f(x)为“友谊函数”，且0≤x1

反思与感悟 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很烦琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．

跟踪训练3 已知{an}是各项均为正数的等差数列，lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，又bn＝ 1

xa2n(n＝1,2,3，…)．证明：{bn}为等比数列．