屈婉玲版离散数学课后习题答案[4]

屈婉玲版离散数学课后习题答案

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元

（2） 非零整数集合错误！未找到引用源。普通的除法运算。不封闭

（3） 全体n?n实矩阵集合错误！未找到引用源。（R）和矩阵加法及乘法运算，其中

n错误！未找到引用源。2。

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n错误！未找到引用源。2。不封闭

（5）正实数集合错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。运算，其中错误！未找到引用源。运算定义为：

错误！未找到引用源。

不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R?

（6）n错误！未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1

（7）A = {a1,a2,?,an} 错误！未找到引用源。n错误！未找到引用源。运算定义如下：

错误！未找到引用源。

封闭 不满足交换律，满足结合律，

（8）S = 错误！未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律

（10）S = 错误！未找到引用源。 ,S关于普通的加法和乘法运算。

1

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加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题

7． 设 * 为Z?错误！未找到引用源。上的二元运算?x,y?Z?，

X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.

(1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3

(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元，零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元

8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算，错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。S有

< a，b >* =

（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？

不可交换：*= ?< a，b >*

可结合：(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的

（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设是单位元，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。S ，*= *=

则==，解的=<1,0>，即为单位。

? 2

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设是零元，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。S ，*= *=

则==，无解。即无零元。

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。S，设是它的逆元*= *=<1,0>

==<1,0> a=1/x,b=-y/x

所以当x?0时，?x,y??1?1y,? xx

10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，错误！未找到引用源。分别有表10.8确定。

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元

a?1?a,b?1?b

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a?(b?b)?a?a?b, a?(b?b)?(a?b)?b 没有单位元, 没有零元

(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元

(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上

(a?b)?b?a?b?a

16．设V=〈 N，+ ，错误！未找到引用源。〉，其中+ ，错误！未找到引用源。分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？

（1）S1=错误！未找到引用源。 是

3

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（2）S2=错误！未找到引用源。 不是 加法不封闭 （3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0，1，2，3}，

为模4乘法，即

y=(xy)mod 4

\?x,y∈S, x

问〈S，

〉是否构成群？为什么？

y=(xy)mod 4?S,

是S上的代数运算。

解：(1) ?x,y∈S, x

(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3

(x

y)

z =((xy)mod 4)

z=r

z=(rz)mod 4

=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x

(y

z) =(xyz)mod 4 y)

z = x1)=(1

(y

z)，结合律成立。

所以，(x(3) ?x∈S, (x

x)=x,，所以1是单位元。

(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以，〈S，

9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： \?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？

解：(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,

(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。

(3)设e是单位元，?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x?1?y?4?x 所以〈Z，o〉构成群

4

〉不构成群