数量关系—插板法的经典应用

某学校四、五、六年级组织了一场文艺演出，共演18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么，这三个年级演出节目数的所有不同情况共有多少种？

【解析】、我们先把18个节目每个年级分配3个节目，这样三个班就都还差一个节目，总的还剩下9个节目，按照插板法来解答。9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取任意2个间隔就可以分成3份；故答案为C8取2=28.

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1） 这n个元素必须互不相异 （2） 所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明

把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？

问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用

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a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）

例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入

1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是 c12 2=66

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例2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？ 我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28

================================================== b 添板插板法

例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位

11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，

第2组始终不能取空

此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空

则每一组都可能取球为空 c12 2=66 --------------------------------------------------------

例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？

因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab 显然a+b<=9 ,且a不为0

1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位

我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45 -----------------------------------------------------------

例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？

类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -

在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板

设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165

============================================ c 选板法

例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？

o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10个糖，-代表9块板 10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉 这样一共就是 2^9= 512啦

============================================= d 分类插板

例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论 最多吃5天，最少吃1天

1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况

2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2