2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系讲义含解析

m－12

解析 由直线mx－y＝1与直线x－my－1＝0平行得m－1＝0，且≠，解得m＝－1.圆

1－1

x2＋2x＋y2－24＝0化为标准方程为(x＋1)2＋y2＝25，直线mx－y＝1过定点(0，－1)，因为

点(0，－1)在圆(x＋1)＋y＝25内，则当直线l垂直于点(0，－1)与圆心(－1，0)连线所在的直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时圆心到直线mx－y＝1的距离即为点(0，－1)与圆心(－1，0)连线的长度，即为12＋?－1?＝2，则直线被圆截得的弦长的最小值为225－?2?＝223.

9.已知圆E：x＋y－2x＝0，若A为直线l：x＋y＋m＝0上的点，过点A可作两条直线与圆

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E分别切于点B，C，且△ABC为等边三角形，则实数m的取值范围是______________.

答案 [－22－1，22－1]

解析 设圆E的圆心为E，半径为r，圆E：x＋y－2x＝0，即(x－1)＋y＝1，则圆心

r1

＝sin30°＝，即|AE|＝2r. |AE|2

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E(1，0)，半径r为1，由题意知直线l上存在点A，使得

|1＋m|

又因为|AE|≥d(d为圆心到直线l的距离)，故要使点A存在，只需d≤2r＝2，可得≤2，

2解得m∈[－22－1，22－1].

10.已知圆C1：x＋y＋2ay＋a－4＝0和圆C2：x＋y－2bx－1＋b＝0外切，若a∈R，b∈R11

且ab≠0，则＋的最小值为____________.

a2b24答案 9

解析 x＋y＋2ay＋a－4＝0，即x＋(y＋a)＝4，x＋y－2bx－1＋b＝0， a2＋b22222

即(x－b)＋y＝1.依题意可得a2＋b2＝2＋1＝3，即a＋b＝9，故＝1.

911?11?a2＋b21?b2a2?1?所以＋＝?＋?＝?1＋＋＋1?≥?2＋2

a2b2?a2b2?99?a2b2?9?当且仅当a＝±b时取等号.

11.已知圆C：x＋y＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.

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b2a2?4

×?＝， a2b2?9

(1)若点P运动到(1，3)处，求此时切线l的方程； (2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程.

解 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝4， ∴圆心为C(－1，2)，半径r＝2.

(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，

2

2

C到l的距离d＝2＝r，满足条件.

当l的斜率存在时，设斜率为k，

得l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0， |－k－2＋3－k|3

＝2，解得k＝－. 41＋k2

则

3

∴l的方程为y－3＝－(x－1)，

4即3x＋4y－15＝0.

综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0. (2)设P(x，y)，则|PM|＝|PC|－|MC|＝(x＋1)＋(y－2)－4， |PO|＝x＋y，∵|PM|＝|PO|， ∴(x＋1)＋(y－2)－4＝x＋y， 整理，得2x－4y＋1＝0，

∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x＋y－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).

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(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程； →→→

(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围. 解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)＋(y－7)＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5， 由题意，设圆N的方程为(x－6)＋(y－b)＝b(b>0). 且?6－6?＋?b－7?＝b＋5.

解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)＋(y－1)＝1. (2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.

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2

222

2

22

2

又|BC|＝|OA|＝22＋42＝25.

由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝|2×6－7＋m|

＝25，解得m＝5或m＝－15. 222＋?－1?

?|BC|?2＝25－5＝25. 52－???2?

即

∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15. →→→

(3)由TA＋TP＝TQ，则四边形AQPT为平行四边形， 又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10. ∴|TA|＝|PQ|≤10，即?t－2?＋4≤10， 解得2－221≤t≤2＋221.

故所求t的取值范围为[2－221，2＋221].

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13.已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋4－4m＝0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x＋y＋2x－4y＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是( )

2

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A.m≤1或m≥2B.2≤m≤8 C.－2≤m≤10D.m≤－2或m≥8 答案 C

解析 如图，设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，

由∠AMB＝∠MAC＝∠MBC＝90°及|MA|＝|MB|知，四边形MACB为正方形，故|MC|＝2＋2＝2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(－1，2)到直线l的距离

d＝|－m－2＋2m－2＋4－4m|2

≤2，即m－8m－20≤0，∴－2≤m≤10，故选C. 22?m＋2?＋?m－1?

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14.若⊙O：x＋y＝5与⊙O1：(x－m)＋y＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________. 答案 4

解析 ⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，

∴O1A⊥OA.

又∵|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5. 又A，B关于OO1所在直线对称， ∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，

5×25

＝4. 5

∴|AB|＝2×