2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系讲义含解析

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

最新考纲 考情考向分析

考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的

2.会判断圆与圆的位置关系. 大小等.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.

1.会解决直线与圆的位置关系的问题.

1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.

dr?相离.

>0?相交；??判别式

＝0?相切；(2)代数法：Δ＝――→b2－4ac???<0?相离.2.圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)＋(y－b1)＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0).

方法

几何法：圆心距d与r1，r2的关系 位置关系 外离 外切 相交 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况

无解 一组实数解 两组不同的实数解

2

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d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|

概念方法微思考

d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 无解

1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？

提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.

2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？

提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )

(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )

(3)过圆O：x＋y＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r.( √ )

(4)过圆O：x＋y＝r外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r.( √ )

(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( √ ) 题组二 教材改编

2.[P128T4]若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)＋y＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A.[－3，－1]B.[－1，3]

C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)

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答案 C

解析 由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2， |a－0＋1|12＋?－1?

∴

2

≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.

3.[P130练习]圆(x＋2)＋y＝4与圆(x－2)＋(y－1)＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交 C.外切D.相离 答案 B

解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17. ∵3－2

4.[P133A组T9]圆x＋y－4＝0与圆x＋y－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________. 答案 22

??x2＋y2－4＝0，

解析 由?

?x2＋y2－4x＋4y－12＝0，?

2

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2222

得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.

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2

又圆x＋y＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为4－2＝2，所以所求弦长为22. 题组三 易错自纠

22

＝2.由勾股定理得弦长的一半为

5.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－22，22]

C.[－2－1，2－1] D.[－22－1，22－1] 答案 D

解析 圆C的标准方程为(x－2)＋(y－1)＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距

2

2

22

|2－1＋m||2－1＋m|离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，

22解得－22－1≤m≤22－1，故选D.

6.设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A.4B.42C.8D.82 答案 C

解析 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝?a－4?＋?a－1?，解得a＝5＋22或a＝5－22， 可取C1(5＋22，5＋22)，C2(5－22，5－22)， 故|C1C2|＝?42?＋?42?＝8，故选C.

7.过点A(3，5)作圆O：x＋y－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0

解析 化圆x＋y－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)＋(y－2)＝4，其圆心为(1，2)， ∵|OA|＝?3－1?＋?5－2?＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x|3－2k|

－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝k2＋12，

5

即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝，

12

故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.

222

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题型一 直线与圆的位置关系