高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.1等差数列同步练习新人教B版必修5-含答案

2．2.1 等差数列

1．等差数列的前4项依次是a－1，a＋1,2a＋3，2b－3，则a，b的值为( ) A．1,2 B．－1,4 C．0,4 D．2，－2

2．在等差数列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则其通项公式为( ) A．an＝10n＋45 B．an＝6n－24 C．an＝10n－45 D．an＝6n＋24

3．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则tan(A＋C)＝________.

x3－x1

4．若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝__________.

y3－y1

??a－1＋2a＋3＝2(a＋1)，

答案：1．C 方法一：依题意可知?

??a＋1＋2b－3＝2(2a＋3)，

??a＝0，

解得?

??b＝4.

方法二：由(a＋1)－(a－1)＝2可得d＝2，再利用通项公式可得a，b的值．

方法三：采用特殊值代入法求解．

2．C ∵a6＋a7＋a8＝3a7＝75，∴a7＝25. 又∵a3＋a12＝a7＋a8＝60， ∴a8＝35，d＝a8－a7＝10.

∴an＝a8＋(n－8)d＝35＋10×(n－8)＝10n－45. 3．－3 ∵∠A、∠B、∠C成等差数列， ∴2∠B＝∠A＋∠C.

∴∠A＋∠B＋∠C＝3∠B＝180°. ∴∠B＝60°.∴∠A＋∠C＝120°. ∴tan(A＋C)＝tan120°＝－3. 3

4. ∵a，x1，x2，x3，b成等差数列， 2b－a

∴其公差d1＝. 4

又∵a，y1，y2，y3，y4，y5，b成等差数列， b－a

∴其公差d2＝. 6

x3－x12d1d1b－a63∴＝＝＝×＝. y3－y12d2d24b－a2

课堂巩固

1．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( ) A．2 B．3 C．6 D．9

2．(辽宁高考，文3){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( ) 11

A．－2 B．－ C. D．2

22

1

3．等差数列的首项为，第10项为开始比1大的项，则公差d的取值范围为( )

25

1

883383

A．d＞ B.＜d≤ C．d＜ D.＜d＜ 7575252575254．(山东高考，文13)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________. 5．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值为__________．

111

6．已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a

abc－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．

7．等差数列{an}中，已知a59＝70，a80＝112，求a101.

?m＋2n＝8，?

答案：1．B 由题意，得?

??2m＋n＝10，

?m＝4，?

∴???n＝2.

∴m和n的等差中项是3.

2．B 方法一：a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，∴a1＝1.∴a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0. 1

∴d＝－.

2

1

方法二：∵a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝－a3＋2d＝2d＝－1，∴d＝－.

2

??a10>1

3．B 依题意?

?a9≤1?

1

??25＋9d>1??1??25＋8d≤1

8

d>??75??3

d≤??25

?

83

4．13 等差数列{an}中，a3＝7，a5－a2＝6， ∴3d＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.

5．log25 2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)， 所以可得(2x－1)2＝2(2x＋3)， 即(2x)2－4·2x－5＝0.

解之，得2x＝5或2x＝－1(舍)． 所以x＝log25.

111

6．证明：由已知，，成等差数列，

abc211∴＝＋. bac2a＋c∴＝. bac

∴2ac＝ab＋bc.

∴－2ac＝2ac－2b(a＋c)．

∴－2ac＋a2＋c2＝2ac－2b(a＋c)＋a2＋c2. ∴(a－c)2＝(a＋c)(a＋c－2b)．

2

又∵a－c，a＋c，a＋c－2b都是正数， ∴2lg(a－c)＝lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)．

∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列． 7.解法一：设首项为a1，公差为d，则由题意得

?a1＋58d＝70，????a1＋79d＝112.

??a1＝－46，解得?

?d＝2.?

∴a101＝a1＋100d＝－46＋100×2＝154.

解法二：设公差为d，则a80＝a59＋(80－59)d＝a59＋21d， 即112＝70＋21d， ∴d＝2.

∴a101＝a80＋(101－80)d＝112＋21×2＝154.

解法三：∵an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，其图象是直线上的点， ∴点(59，a59)，(80，a80)，(101，a101)共线． a80－a59a101－a80112－70a101－112∴＝，即＝. 80－59101－802121∴a101＝154.

1．在数列{an}中，a1＝－2,2an＋1＝2an＋3，则a11等于( ) 27

A. B．10 C．13 D．19 23

1．答案：C 由2an＋1＝2an＋3得an＋1－an＝，

23

∴{an}是等差数列．a1＝－2，d＝，a11＝13.

2

2.(安徽高考，文5)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )

A．－1 B．1 C．3 D．7 2．答案：B 设其公差为d，∵a1＋a3＋a5＝105， ∴3a3＝105.∴a3＝35.

同理，由a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33. ∴d＝a4－a3＝－2.

∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.

3．已知等差数列{an}的公差为d，若c≠0，且c为常数，则数列{can}是( ) A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列 C．不是等差数列 D．不能判断 3．答案：B 因为an＋1－an＝d，所以can＋1－can＝cd. 所以数列{can}是公差为cd的等差数列．

3

4．设{an}是递增的等差数列，其前三项的和为12，前三项的积为48，则数列{an}的首项为( )

A．1 B．2 C．4 D．6 4．答案：B 方法一：设首项为a，公差为d，

?a＋a＋d＋a＋2d＝12，?

则由题意知：d>0，且?

??a(a＋d)(a＋2d)＝48，

解得a＝2.

方法二：设三数为：a－d，a，a＋d， d>0，??

依题意有?a－d＋a＋a＋d＝12，

??(a－d)·a·(a＋d)＝48，

??a＝4，

解得?

?d＝2.?

∴a－d＝2.

5．等差数列{an}单调递增且a3＋a6＋a9＝12，a3·a6·a9＝28，则此数列的通项公式an＝__________.

5．答案：n－2 ∵a3＋a9＝2a6，a6＝4， ∴a3＋a9＝8，a3·a9＝7.

∴a3、a9是一元二次方程x2－8x＋7＝0的两个根． 又∵{an}单调递增， ∴a3＝1，a9＝7，d＝1.

从而an＝a3＋(n－3)d＝1＋(n－3)＝n－2.

1

6．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|

4等于________．

11111

6. 答案： 设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中的两

24444根之和为2，方程x2－2x＋n＝0中的两根之和也为2， 1

∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4.∴d＝. 2

1735

因此a1＝，a4＝是一个方程的两根，a2＝，a3＝是另一个方程的两个根．

4444715

∴m，n分别为，. 16161

∴|m－n|＝. 2

7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．

(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？

7．答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公

4