2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案：第二章 2.2 椭圆

又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方， 所以(x2＋y2)max＝a2，(PF1·PF2)max＝b2， 11所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤，

4212所以≤e≤. 2212答案：?，?

?22?

[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地11

点、远地点离地面的距离分别大约是R、R，求此宇宙飞船运行的轨道方程．

153

[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．

[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系，且令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点x2y2

在x轴上的椭圆的标准方程，不妨设为2＋2＝1(a>b>0)，则地心F2的

ab坐标为(c,0)，其中a2＝b2＋c2，

与椭圆相关的应用问题 ?a－c＝R＋15，则?R

a＋c＝R＋，?3

R

?a＝5R，

解得?2

c＝?15R.

6

6?2?2?2642

∴b2＝a2－c2＝??5R?－?15R?＝45R. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x2y2

＋＝1. 362642

RR2545

[一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．

7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200

km，月球的半径约是1 800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．

解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得 2a＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a＝2 750.

又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375. c3753∴e＝＝＝. a2 750223

答案：

22

8．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.

(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？

解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，

则由已知得PF1＋PF2＝4.

由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝3. x2y2

∴P点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)，

43同理Q点轨迹方程同上．

(2)S?PF1QF2＝F1F2·|yP|≤2c·b＝23(km2)，

所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为23 km2.

1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位

置．

2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．

3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．

[对应课时跟踪训练(九)]

x2y2

1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是

abC上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．

解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率ec2c|F1F2|3m3＝＝＝＝＝. a2a|PF1|＋|PF2|2m＋m3

b2

法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|

ab2b2＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两aa边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝

答案：

3

3

3

或e＝－3(舍去)． 3

1

2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方

2程是__________________．

c＝1，??c1xy

解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以?a＝2，ab

??c＝a－b，

2

2222

2

2

解得a2＝4，b2

＝3.

x2y2

答案：＋＝1

43

x2y2x2y2

3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴

25925－k9－k长”或“离心率”或“焦距”)

解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距

x2y26

4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭

ab3圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．

解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，

2b2x222b2x1

则y＝b－2，y1＝b－2.

aa

2

2

y－y1y＋y1y2－y21b2c2

所以k1·k2＝·＝＝－2＝2－1

aax－x1x＋x1x2－x211

＝e2－1＝－，

31

即k1·k2的值为－.

31

答案：－

3

x2y23a

5．设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1

ab2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．

3a

解析：设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°.

23a

由题意知，F1F2＝PF2＝2c，F2M＝－c.

213a

在Rt△PF2M中，F2M＝PF2，即－c＝c.

22c3

∴e＝＝.

a43答案： 4

35 3

6．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，经过点A(，－2)，求椭圆的标准方程．

52解：设椭圆的标准方程为

x2y2754

＋＝1.① 2＋2＝1(a>b>0)，则ab4a2b23c33

由已知e＝，∴＝，∴c＝a.

5a55