2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1-1讲学案：第二章 2.2 椭圆

∴c＝81－1＝80＝4 5， ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y轴上，

故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)， 顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)， c4 5B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝. a9

[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．

x2y21

1．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．

m43解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4， 得

m－419＝.解得m＝. 32m

当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m， 得

4－m132＝，解得m＝. 239

932答案：或 29

2．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． x2y2

解：椭圆方程变形为＋＝1，

94∴a＝3，b＝2， ∴c＝a2－b2＝9－4＝5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25， 焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，

c5

顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝.

a3

由椭圆的几何性质求标准方程 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 4

(1)长轴长为20，离心率等于；

5

(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．

[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a、b、c，得到椭圆的标准方程．

c4

[精解详析] (1)∵2a＝20，e＝＝，

a5∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36.

x2y2

由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1

10036y2x2

或＋＝1. 10036

x2y2y2x2

(2)设椭圆的标准方程为2＋2＝1或2＋2＝1(a>b>0)．

abab由已知a＝2b，①

且椭圆过点(2，－6)，从而有

2

?－6?22222?－6?

＋2＝1或2＋2＝1.② a2bab

由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13. x2y2y2x2

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

148375213

[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．

3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．

c3

解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝33，b＝3.

a2x2y2

故椭圆方程为＋＝1.

369x2y2

答案：＋＝1

369

3

，且G上一点到G的两2

4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； 5

(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

13解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知， 2a＝

32＋?2＋2?2＋32＋?2－2?2＝8，

所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.

y2x2

又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

1612(2)由题意知，2a＝26，即a＝13， c5

又e＝＝，所以c＝5，

a13所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，

x2y2y2x2

所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

169144169144

x2y2

[例3] 已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一

ab12

c，3c2?，其中c2＝a2－b2，求椭圆的离心率的取值范点，且PF1·PF2的最大值的取值范围为??2?围．

[思路点拨] 由P是椭圆上一点，知PF1＋PF2＝2a，进而设法求出PF1·PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围．

[精解详析] ∵P是椭圆上一点， ∴PF1＋PF2＝2a，

∴2a＝PF1＋PF2≥2 PF1·PF2， 即PF1·PF2≤a2，

当且仅当PF1＝PF2时取等号． 121c222

∴c≤a≤3c，∴≤2≤2， 23a

与椭圆离心率有关的问题 13∴≤e2≤2，∴≤e≤2. 33∵0

3

≤e<1， 3

3?

.

?3，1?

∴椭圆的离心率的取值范围是?[一点通]

(1)椭圆的离心率的求法：

①直接求a，c后求e，或利用e＝b2b

1－2，求出后求e. aa

②将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4

c

构造关于(e)的方程求e.

a

(2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．

5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则由已知得2a＋2c＝4b. 即a＋c＝2b， 又a2＝b2＋c2，

533

解得a＝b，c＝b，e＝. 4453

答案： 5

x2y2

6．椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且

ab

PF1·PF2的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范

围是________．

解析：设P(x，y)、F1(－c,0)、F2(c,0)， 则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，

PF1·PF2＝x2＋y2－c2，