2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1-1讲学案：第二章 2.2 椭圆

2．2椭__圆

2．2.1 椭圆的标准方程

在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．

问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 ?x＋2?2＋y2＋?x－2?2＋y2＝6， x2y2

化简得＋＝1.

95

问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得 x2＋?y－2?2＋y2x2

化简得＋＝1.

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椭圆的标准方程

标准方程 焦点坐标 a、b、c的关系

1．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.

2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．

焦点在x轴上 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2(±c,0) c2＝a2－b2 焦点在y轴上 y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2(0，±c) x2＋?y＋2?2＝6，

[对应学生用书P20]

[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，?－1，待定系数法求椭圆标准方程 ?

14?； 2?y2x2

(2)过点(3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．

259

[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a，b，则标准方程易得．

[精解详析] (1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 x2y2

＋＝1(a>b>0)． a2b2?

由已知条件得?114

?a＋4b＝1，

2242

＋＝1，a2b2

?解得?11

?b＝4.211＝，a28

x2y2

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

84若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 y2x2

＋＝1(a>b>0)． a2b2?

由已知条件得?114

?b＋4a＝1，

2242

＋＝1，b2a2?解得?11

?a＝4.211＝，b28

即a2＝4，b2＝8，则a2b>0矛盾，舍去． x2y2

综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

84

?－1，法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－2)，

?

代入，

14?2???

得?解得?14

1A＋B＝1，?4?B＝?4，

?4A＋2B＝1，

1A＝，

8

x2y2

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

84

y2x2

(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，

259所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. y2x2

设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以53

即2＋2＝1.② ab

由①②得b2＝4，a2＝20，

y2x2

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

204[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：

1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； 11?1，，Q?0，－?. (2)经过两点P?2??33??解：(1)由已知得：c＝4，a＝5. b2＝a2－c2＝25－16＝9. x2y2

故所求椭圆方程为＋＝1.

259

(2)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B) 由已知得，

(－5)2

a2?3?2

＋2＝1，

b

??1

?4B＝1，

11

A＋B＝1，99

??B＝4，

解得：?

A＝5，??

y2x2

故所求椭圆方程为＋＝1.

11452．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；

(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.

解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，

x2y2

所以可设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，

?∴?01

?a＋b＝1，

22220

＋＝1，a2b2

2??a＝4，∴?

2??b＝1，

x22

故所求椭圆的标准方程为＋y＝1.

4

y2x2

(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.

又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8， ∴b2＝a2－c2＝36，

y2x2

∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.

10036

[例2] 已知方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围．

椭圆标准方程的讨论