2020年北京市平谷区高考数学模拟试卷(5月份)

所以存在唯一的??0∈[0,2]，使?(??0)=0，即??′(??0)=0． 所以??(??)在区间[0,??0]上单调递增，在区间[??0,2]上单调递减． 因为??(0)=??，??(2)=??，

又因为方程??(??)?3=0在区间[0,2]上有唯一解， 所以2

??

??

??

??

【解析】(Ⅰ)求得??(??)的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可得切线的方程；

(Ⅱ)求得函数的导数，判断单调性，计算可得最值；

(Ⅲ)求得导数，构造函数?(??)=(1???)????????+??????????+1，求得导数，判断符号，可得单调性，由函数零点存在定理，可得??(??)的单调性，结合条件可得a的范围．

本题考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查单调性的运用：求最值，以及函数零点存在定理的运用，方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题．

20.【答案】(??)解：由题意可得：??2+4??2=1，??=1，??2=??2+??2，

联立解得??2=4，??2=3． ∴椭圆C的方程为：

??24

??23

19

+=1．

(????)证明：设直线DE的方程为：????=??，??(??1,??1)，??(??2,??2).

????=??12

联立{??2??2，可得：??2=3??2+4．

+=1

4

3

??(2√3??√3??2+4,2√3√3??2+4)，??(?2√3???2√3,2)． 2√3??+4√3??+43

4√3?3√3??2+4(??4√3???2√3??2+44√3+3√3??2+4(??4√3??+2√3??2+43

直线PD的方程为：???=

2直线PE的方程为：???=

23

?1)，可得??(0,2??1)，可得??(0,?

2

4√3?3√3??2+4)(??4√3???2√3??2+427

33

3

4√3?3√3??2+4). 4√3???2√3??2+44√3+3√3??2+4). 4√3??+2√3??2+44√3+3√3??2+4)4√3??+2√3??2+4以MN为直径的圆的方程为：??2+(???+2

3

2

48?9(3??2+4)

?2+

=0，

∴把??=2代入可得：??+48??2?4(3??2+4)=0.即??2=36． 解得??=±

3√3． 4

3

33因此被直线??=2截得的弦长=√是定值．

2

【解析】(??)由题意可得：??2+4??2=1，??=1，??2=??2+??2，联立解出即可得出． ????=??12

??2=3??2+4.(????)设直线DE的方程为：????=??，??(??1,??1)，??(??2,??2).联立{??2??2，可得：

+3=14可得??(2√3??√3??2+4√3??2+41

9

,2√3)，??(?2√3???2√3,).利用点斜式可得直线√3??2+4√3??2+4PD的方程，可得??(0,2?

MN为直径

3

4√3?3√3??2+4).利用点斜式可得直线

4√3???2√3??2+4PE的方程，可得??(0,3?

24√3+3√3??2+4).以

4√3??+2√3??2+4第13页，共15页

的圆的方程为：??2+(???+2

3

4√3?3√3??2+43

)(???224√3???2√3??+4+

4√3+3√3??2+4)4√3??+2√3??2+4=0，把??=2代入即可

3

证明．

本题考查了直线与椭圆的位置关系、点斜式、圆的方程、弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21.【答案】解：(Ⅰ)数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”． 因为??4=

1+3+5+7+9?7

5?1

=????，

2

9

所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”． (Ⅱ)证明：因为????+1?????=

?????????+1???1

，1≤??≤???1，??∈???，

又因为??1

?????????+1???1

<0，

所以??1>??2>?>????成立． (Ⅲ)?1≤????2>?>????． 所以?????????∈???， 所以?????????=

????????????1

????????????1

，

∈???， =???1∈???， ∈???，

2048

所以??1?????=

???????1???1

因为?????1?????=

??????????1???1

所以??????????1≥???1，

又???????1=(??????????1)+(?????1??????2)+?+(??2???1)≥(???1)+(???1)+?+(???1)=(???1)2． 所以2049?1≥(???1)2 所以(???1)2≤2048， 所以??≤46， 又???1∈???，

所以??≤33，

例如：????=64???63(1≤??≤33)，满足题意， 所以，m的最大值是33．

2048

(Ⅰ)根据题目中“伴随数列”的定义得??4=【解析】

3，5，7，9不存在“伴随数列”．

(Ⅱ)只要用作差法证明{????}的单调性即可， (Ⅲ)?1≤??

??????????1???1

????????????1

1+3+5+7+9?7

5?1

=2????，所以数列1，

9

，因为????∈???，??1>??2>?>????.因为?????1?

∈???，所以??????????1≥???1，又???????1=(??????????1)+(?????1?

?????2)+?+(??2???1)≥(???1)+(???1)+?+(???1)=(???1)2.所以2049?

1≥(???1)2，即可解得m的最大值．

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本意考查数列的“伴随数列”定义，数列的单调性，数列与不等式，属于难题．

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