2020年北京市平谷区高考数学模拟试卷(5月份)

题．

13.【答案】2 ?2

【解析】解：矩形ABCD中，????=2，????=1，O为AB的中点．

????? ?????????? =|????????? ||????????? |cos∠??????=2×1=2； 当点P在BC边上时，????

????? ?????????? 的最小值，????? ?????????? =|????????? ||????????? |cos∠??????， CD与DA边运动时，当点P沿着BC，????????

P应该在线段AD上，此时????? ?????????? ????=|????? ????||????? ????|cos∠??????=2×(?1)=?2； 故答案为：2；?2．

利用斜率的数量积直接求解????? ?????????? ????的值；利用????? ?????????? ????，判断P所在的位置，求解最小值即可．

考查斜率的数量积的求法与应用，考查转化思想以及观察图形的能力，是基本知识的考查．

14.【答案】①③

【解析】解：由??(??)=??+????????，得??′(??)=???2?????????． ∵??′(??)<0在(0,??]上恒成立，∴??(??)在(0,??]上单调递减， 则??(??)在(0,??]上有最小值??(??)=???1，无最大值，故①正确；

∵??(??)=+????????的定义域为{??|??≠0}，∴??(??)=??(??)???(???)的定义域为{??|??≠0}，

??1

1

1

1

∵??(???)=??(???)???(??)=?[??(??)???(???)]=???(??)， ∴??(??)为奇函数，故②错误；

由??(??)=??+????????=0，得????????=???， 作出??=????????与??=???在(0,2??)上的图象如图：

1

1

1

由图可知，??(??)在(0,2??)上有两个零点，故③正确． ∴正确结论的序号为①③． 故答案为：①③．

利用导数研究函数的单调性，可得??(??)在(0,??]上单调递减，得到??(??)在(0,??]上有最小值，无最大值，故①正确；

直接利用函数奇偶性的定义判断②错误；

把??(??)=??+????????=0转化为????????=???，在同一直接在坐标系内画出??=????????与??=???在(0,2??)上的图象，数形结合判断③正确．

本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的单调性与奇偶性的性质，考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

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1

1

1

15.【答案】D

【解析】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s， 同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s， 得到D疏散乘客比A快；

同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s， 同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s， 得到A疏散乘客比E快；

同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s， 同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s， 得到A疏散乘客比C快；

同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s， 同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s， 得到D疏散乘客比B快．

综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D． 故答案为：D．

利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果

本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，是基础题．

√3√316.【答案】解：??(??)=2????????????????(???????)+=?????????????????????√3cos2????+=

3221

??????2?????2

√3??????2????2

=sin(2?????3)．

??

??

①若|??(??1)???(??2)|=2，|??1???2|的最小值为2； 所以2??=??，解得??=1， 所以??(??)=sin(2???3)， 由于?6≤??≤6，所以?

??

??

??

2??3??

2??

≤2???≤0，

3

??

所以?1≤sin(2???3)≤0， 故函数??(??)的值域为[?1,0]．

②??(??)两条相邻对称轴之间的距离为2； 所以2??=??，解得??=1， 所以??(??)=sin(2???3)， 由于?6≤??≤6，所以?

??

??

??

2??3??

2??

??

≤2???3≤0，

??

所以?1≤sin(2???3)≤0， 故函数??(??)的值域为[?1,0]．

③若??(??1)=??(??2)=0，|??1???2|的最小值为2，

??

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所以2??=??，解得??=1， 所以??(??)=sin(2???3)， 由于?6≤??≤6，所以?

??

??

??

2??3??

2??

≤2???3≤0，

??

所以?1≤sin(2???3)≤0，

故函数??(??)的值域为[?1,0]．

【解析】根据所选的①主要说最大值和最小值之间的长度为半个周期．②对称轴之间的距离为半个周期③相邻函数零点之间的距离为半个周期，进一步利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

17.【答案】解：(1)由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，

∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为5． (2)结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ??的可能取值为0，1，2． ??(??=0)=??43=5，??(??=1)=

6

3

??3

1

2???1??423??6

=5，??(??=2)=

1 533

1???2??423??6

=5，

2 511

∴??的分布列为： ?? P 15

0 535

15

1∴??(??)=0×+1×+2×=1．

(3)由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，

??

安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而??1>??2．

【解析】(1)根据古典概型概率公式得出结论； (2)利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望； (3)根据两种得分的数据离散程度进行判断．

本题考查了古典概率的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题． 18.【答案】解：(Ⅰ)证明：直三棱柱?????????1??1??1中，????⊥????1， 平面????1??⊥平面??????1??1，平面????1??∩平面??????1??1=????1， ∴????⊥平面????1??，

∵????1?平面????1??，∴????⊥????1． (Ⅱ)假设线段BC上(含端点)是否存在点P，使直线DP与平面??????1所成的角为3，

??

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以A为原点，AC为x轴，????1为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系， 则??(0,0，1)，??1(0,2，1)，??(√3,1，2)，??(√3,0，0)， 设??(??,b，??)，????=??，(0≤??≤1)，

????? ，即(??,b，???1)=??(√3，0，?1)， ?????? =(√3,1，1)，??????? ????? =??????则????????1=(0,2，0)，????

????? =(√3???√3,?1,?1???)， ∴??=√3??，??=0，??=1???，∴??(√3??,0，1???)，∴????

? =(??,y，??)， 设平面??????1的法向量??

????? =√3??+??+??=0? ????????

? =(1,0，?√3)， 则{，取??=1，得??

??????? ? ?????1=2??=0??∵直线DP与平面??????1所成的角为3， ∴sin3=|??=?????? |?? |?|????解得??=4>1，

∴在线段BC上(含端点)是不存在点P，使直线DP与平面??????1所成的角为3．

??

5??

?????? ||???? ?????

2√3??2√(√3???√3)2+1+(?1???)2

??

????

=

√32，

(Ⅰ)由????⊥????1，【解析】平面????1??⊥平面??????1??1，得????⊥平面????1??，由此能证明????⊥

????1．

(Ⅱ)以A为原点，AC为x轴，????1为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段BC上(含端点)是不存在点P，使直线DP与平面??????1所成的角为3． 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)当??=?1时，??(??)=???????????????????+??， 所以??′(??)=2????????+??????????+1，??′(0)=1． 又因为??(0)=?1，

所以曲线??=??(??)在点(0,??(0))处的切线方程为??=???1； (Ⅱ)当??=2时，??(??)=??????????+2????????+??， 所以??′(??)=?????????+??????????+1．

当??∈(0,2)时，1?????????>0，??????????>0， 所以??′(??)>0．

所以??(??)在区间[0,2]上单调递增．

因此??(??)在区间[0,2]上的最大值为??(2)=??，最小值为??(0)=2； (Ⅲ)当??>2时，??′(??)=(1???)????????+??????????+1，

设?(??)=(1???)????????+??????????+1，?′(??)=(2???)???????????????????， 因为??>2，??∈[0,2]， 所以?′(??)<0．

所以?(??)在区间[0,2]上单调递减，

因为?(0)=1>0，?(2)=1???+1=2???<0，

????????

??

??

??

??

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