（人教版）2020届高考数学一轮复习 第三篇第6节 正弦定理和余弦定理及其应用训练 理 新人教版

第6节 正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】 知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 与面积相关的问题 实际应用问题 综合问题 题号 1,2,3,7 4,8,9,10 5,11 6,12,13,14,15 基础巩固(时间:30分钟)

1.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,若A=,cos B=,b=8,则a等于( D )

(A) (B)10 (C) (D)5

解析:因为cos B=,0

=,

所以由正弦定理可得a===5.

故选D.

2.设△ABC的内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( B )

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定

2

解析:由正弦定理及已知,得sin Bcos C+sin Ccos B=sinA,

2

所以sin(B+C)=sinA,

22

即sin(π-A)=sinA,sin A=sinA.

因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A=1,即A=,故选B.

3.(2017·南开区一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,c-a=2,b=3,则a等于( A )

(A)2 (B) (C)3 (D) 解析:因为c=a+2,b=3,cos A=,

所以由余弦定理可得cos A=,

即=

解得a=2.故选A.

,

4.(2017·山东平度二模)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=

,b+c=3,

1

则△ABC的面积为( B )

(A) (B) (C)

2

(D)2

2

2

2

解析:由余弦定理可得a=b+c-2bccos A=(b+c)-2bc-2bccos A, 因为a=

,b+c=3,A=60°,所以3=9-3bc,解得bc=2,

所以S△ABC=bcsin A=×2×=,

故选B.

5.(2017·甘肃一模)要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45°,在D点测得塔顶的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD= 120°,CD=40 m,则电视塔的高度是( B )

(A)30 m (B)40 m (C)40 m 解析:由题意,设AB=x m,则BD=

(D)40 m x m,BC=x m,

在△DBC中,∠BCD=120°,CD=40 m, 根据余弦定理,

222

得BD=CD+BC-2CD·BC·cos∠DCB, 即(

x)=40+x-2×40·x·cos 120°,

22

2

2

整理得x-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍), 即所求电视塔的高度为40 m. 故选B.

6.(2017·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( A ) (A)a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D)B=2A

解析:因为等式右边=sin Acos C+(sin Acos C+cos Acos C) =sin Acos C+sin(A+C) =sin Acos C+sin B,

等式左边=sin B+2sin Bcos C,

所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B. 由cos C>0,得sin A=2sin B, 根据正弦定理,得a=2b,故选A.

7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=A= .

,c=3,则

解析:由正弦定理

=得=,

2

所以sin B=,

又b

8.(2017·江西湘潭二模)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若A=的面积为

,则a的值为 .

,b=,△ABC

解析:因为由S△ABC=bcsin A,可得×所以a=b+c-2bccos A=2+8-2×解得a=答案:

.

2

2

2

×c×sin×2

=,解得c=2,

×(-)=14,

能力提升(时间:15分钟)

9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=接圆的面积为( C )

(A)4π (B)8π (C)9π (D)36π 解析:因为bcos A+acos B=2,

,bcos A+acos B=2,则△ABC的外

所以由余弦定理可得b×解得c=2,

+a×=2,

又因为cos C=,可得sin C==,

所以设三角形的外接圆的半径为R,

则2R===6,可得R=3,

2

所以△ABC的外接圆的面积S=πR=9π. 故选C.

10.(2017·河北一模)△ABC中,AB=

,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于( D )

(A) (B)

3

(C)或 (D)或

解析:AB=,AC=1,cos B=cos 30°=

2

2

2

,

由余弦定理得AC=AB+BC-2AB·BCcos B,

2

即1=3+BC-3BC,

即(BC-1)(BC-2)=0,解得BC=1或BC=2, 当BC=1时,△ABC的面积

S=AB·BCsin B=××1×=,

当BC=2时,△ABC的面积

S=AB·BCsin B=××2×=,

所以△ABC的面积等于或.

故选D.

11.(2017·山西二模)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( D )

(A)(1+(C)(1+

)米 (B)2米 )米 (D)(2+

)米

解析:设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y- 0.5)米,

222

在△ABC中,由余弦定理得,AB=AC+BC-2AC·BCcos∠ACB,

222

即(y-0.5)=y+x-2yx×,

2

化简得y(x-1)=x-,

因为x>1,所以x-1>0,因此y==-=-=x+1+,

所以y=(x-1)++2≥+2,

当且仅当x-1=

时,取“=”号,

4