2019年石家庄市二模文科数学试卷及答案

数学试卷

x2y2??1．………………5分 ∴椭圆E的方程为

1612x2y2??1，求得x0??2，不妨取x0?2， （Ⅱ）把P(x0,3)代入

1612易知过椭圆E上一点P(x0,3)作圆x2?(y?1)2?1的两条切线的斜率存在， 设为k，则切线的方程为：y?3?k(x?2)，………………7分 依题意得2k?2k2?12?1，化简得3k?8k?3?0，

则k1?4?74?7,k2?. 334?7(x?2),…………………9分 3∴切线的方程为：y?3?令y?0得xB??2?7, xC??2?7 ∴S?PBC?127?3?37.…………………12分 22x2x21.解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?(x?x?1)e，切点为(1,e)， 于是有f?(x)?(x?x)e，……………2分

k?f?(1)?2e

∴ 切线方程为y?2ex?e.………………5分

x（Ⅱ）f?(x)?x(x?a?2)e,

令f?(x)?0，得x?a?2?0 或 x?0,

（1）当?2?a?2?0，即0?a?2时， x ?2 (?2,a?2) a?2 (a?2,0) f?(x) ＋ 0 ＿ 0 0 极小值 (0,2) ＋ 2 f(x) a?2 极大值 (4?a)，f(2)?e2(4?a)， 当0?a?2时，有f(2)…f(a?2)

∴ f(a?2)?e若存在x?[?2,2]使得f(x)…3ae，只须e(4?a)…3ae， 解得?

222224剟a31， ∴ 0剟a1.……………8分

数学试卷

②当a?2??2，即a?0时， x 0 ?2 (?2,0) f?(x) － 0 (0,2) ＋ 22 f(x) ?2 极小值 ∴ f(?2)?e(4?3a)，f(2)?e(4?a)， ∵ e(4?3a)?e(4?a)， ∴ f(2)?f(?2)

若存在x?[?2,2]使得f(x)…3ae，只须e(4?a)…3ae， 解得?22222?224剟a341， ∴ ??a?0.……………11分

34剟a31.………………12分

综上所述 ?请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 证明：(Ⅰ)依题意，

DEBE，??1??1 ，

BEEC所以?DEB?BEC,………………2分 得?3??4, 因为?4??5,

所以?3??5,又?2??6，

可得?EBD?ACD.……………………5分 (Ⅱ)因为

因为?EBD?ACD，

EDBD,即?ADCD?ADE??CDB,?ADE?CDB, 所以?4??8，………………7分

所

以

因为?1??2??3?180，

0EDAD?BDCD,又

因为?2??7??8，即?2??7??4，由(Ⅰ)知?3??5， 所以?1??7??4??5?180, 即?ACB??AEB?180,

所以A、E、B、C四点共圆.………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

00x22解：(Ⅰ)曲线C1的普通方程为2?y?1，

a数学试卷

射线C2的直角坐标方程为y?x(x?0)，…………………3分

?66?2可知它们的交点为?，代入曲线C1的普通方程可求得a?2. ,??33???x2?y2?1.………………5分 所以曲线C1的普通方程为2(Ⅱ) |OP|?|OQ|为定值.

由(Ⅰ)可知曲线C1为椭圆，不妨设A为椭圆C1 的上顶点， 设M(2cos?,sin?),P(xP,0)，Q(xQ,0), 因为直线MA与MB分别与x轴交于P、Q两点， 所以KAM?KAP,KBM?KBQ,………………7分 由斜率公式并计算得

xP?2cos?2cos?，xQ?,

1?sin?1?sin?所以|OP|?|OQ|?xP?xQ?2.可得|OP|?|OQ|为定值.……………10分 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解: (Ⅰ)由于f(x)???3x?7,x??2,…………2分

??3x?5x??2.则函数的图象如图所示:（图略）……………5分 (Ⅱ) 由函数y?f(x)与函数y?ax的图象可知, 当且仅当?分

所以不等式f(x)?ax恒成立,

1?a?3时,函数y?ax的图象与函数y?f(x)图象没有交点,……………72则a的取值范围为??,3?.…………………10分

2

?1???