12.3 角平分线的性质 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

1.1 知识与技能：

[1]会用尺规作图画定角的角平分线，并能用全等三角形的判定解释其原理。 [2]掌握角平分线的性质，会运用性质解决相关问题，并能证明这一命题。 [3]掌握角平分线的判定定理，理解角平分线的判定定理和性质定理的关系。 1.2过程与方法 ：

[1]在学习角平分线判定和性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 [2]通过证明角分线的性质定理和判定定理，让学生体验和掌握证明几何命题的方法。 1.3 情感态度与价值观 ：

[1]在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，激发同学学探究问题的兴趣，培养动手操作的能力和探索精神。

2. 教学重点/难点

2.1 教学重点

[1]角的平分线的性质及判定定理。 [2]尺规画定角平分线。 2.2 教学难点

[1]自主证明两个定理（学生在清楚拿出已知和求证上存在困难）。 [2]性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．。

3. 教学用具 4. 标签 教学过程

1 引入新课

【师】同学们好。这节课开始，我们先来看这样一个问题。现在我手里有一张用纸做的角，怎样不利用其他工具把它平分？ 【生】对折一下把两边重合就可以了。

【师】同学们真聪明，那如果我现在打开，这条折痕和这个角有什么关系呢？ 【生】这条线是这个角的角平分线。

【师】那如果我们手里的这个角是用钢板做的，不能对折，这下该怎么平分呢？这就是我们今天要学习的内容 【板书】

第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质

2 新知介绍

[1] 尺规作图：画一个角的平分线

【师】在探究怎样画角分线之前，我们先来这样一个例子，请大家看投影（投影给出教材上刚开始的“思考”）。如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，则AC所在直线就是这个角的平分线。你能说明这是为什么吗？

【生】（思考，交流，引导学生自主给出答案，因为难度不大，只是证明三角形SSS全等）

【师】通过刚才的启发，给我们提供了一个仅用尺规作图，就能画出角分线的思路？现在请大家拿出尺规，跟我一起画。（板演或者看PPT上的动画） 【PPT/板书】 一、尺规作角分线

理论依据：三角形SSS全等

[1] 角平分线的性质

【师】大家刚才都画好了一个角和它的平分线。下面大家动手再画几笔，在你刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA和OB的垂线段，分别记垂足为D，E。PD和PE的长度有什么关系？ 【生】似乎PD=PE。

【师】那在OC上再取几个点试一下，并和你的伙伴交流结论，你们发现角平分线有什么性质？

【生】经过测量，PD=PE总成立。经过讨论，我们猜想：角分线上的点到角两边的距离相等。

【师】只有通过严密的证明，才能让人信服。那怎么证明你们的猜想呢？在大家证明之前，我们先介绍一下，怎样证明几何命题。证明几何命题，首先要明确已知和求证，那大家要证明的这个猜想中，已知和求证分别是什么？ 【生】已知：一个点在一个角的平分线上。求证：这个点到这个角两边的距离相等。

【师】明确了已知和求证之后，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明前要画出图形，并用数学符号表示已知和求证。由已知分析出证明途径，写出证明过程。那下面大家跟老师一起来，画出图形，完成证明。请大家看投影。（放映PPT）

【师】经过刚才的证明，大家的猜想得到了验证，也就是说，任意一个角的角平分线都有这样的性质：角分线上的点到角两边的距离相等。（PPT演示，并给出数学语言介绍） 【板书/PPT】

二、角平分线的性质

1．角分线上的点到角两边的距离相等。 2．数学语言：

∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD=PE

[1] 角平分线判定定理

【师】我们刚刚学习了角分线的性质，但是实际生活中，很可能是不知道角分线的，因此下面我们来看一个实际生活中的例子。（PPT给出教材上的第三个思考）大家看投影，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸中心应建在哪里？大家想一想。 【生】这个点应该在交叉的角的平分线上吧。

【师】看起来有道理，但是不能直接下结论。刚才我们学的，是已知一个角分线，可以知道角分线上每个点到角两边的距离都相等。但是，这个定理反过来可不一定成立。要想使人信服，还得需要证明这个命题。这一次，大家仿照刚才的例子，只是把已知和求证换一下，之后看看，怎样用全等三角形去证明你们的猜想。

【生】（在教师引导下给出判定定理的证明）

【师】经过刚才的证明，大家的猜想得到了验证，也就是说，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，这就是角的平分线的判定定理。（PPT演示，并给出数学语言介绍）这个定理告诉我们，一个角的平分线实际上是一系列特殊的点的集合，这些点都满足这个条件：到角的两边距离相等。 【板书/PPT】 三、角平分线的判定

1.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

2.数学语言：