人教课标版高中数学选修2-1《立体几何中的向量方法(第3课时)》教案-新版

法二:设AB中点为O,作OO1//AA1.

以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得A(-错误！未找到引用源。1,0,0),B(错误！未找到引用源。,0,0),C(0,错误！未找到引

2用源。,0),

N(0,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),B1(,0,1),

12∵M为BC中点,∴M(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,0).

131∴MN?(?,,),AB??1,0,1?

444∴AB1MN?0.∴AB1?MN∴AB1?MN.

点拨：选好基底，将问题中涉及的向量用所选定的基底来线性表示，然后运算．建立坐标系写出坐标，也可以计算.

变式训练：如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

答案：见解析

解析：【知识点】利用方向向量证明线线垂直 【解题过程】

→＝p，AC→＝q，AD→＝r. 证明：设AB

由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°. →＝AN→－AM→＝1(AC→＋AD→)－1AB→＝1(q＋r－p)， MN

2221→·→＝1(q＋r－p)·2

∴MNABp＝(q·p＋r·p－p)

221

＝2(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.

点拨：选好基底，将问题中涉及的向量用所选定的基底来线性表示，然后运算． 【设计意图】通过例子熟练掌握空间中线线垂直的证明 ●活动② 利用直线的方向向量证明线面垂直

例2:在长方体ABCD?A1BC11D1中，E、F分别是棱BC,CC1上的点，CF=AB=2CE,

AB:AD:AA1 = 1:2:4.证明AF?平面A1ED

【知识点】利用方向向量证明线面垂直 【解题过程】

解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB?1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),

?3?A1(0,0,4),E?1,,0?

?2?3?1???已知AF?(1,2,1),EA1???1,?,4?,ED???1,,0?于是AF·ED=0.因此，EA1=0，AF·

2?2???AF?EA1,AF?ED,又EA1?ED?E 所以AF?平面A1ED

点拨：对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.

同类训练：如图，在三棱柱ABC?A1B1C1-中，?BAC?90，AB?AC?2，A1A?4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.证明：A1D?平面A1BC.

答案：见解析

解析：【知识点】利用方向向量证明线面垂直 【解题过程】

证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．

?AA12?AO2?14 则BC?2AC?22，AO1易知A1（0，0，14），B（2，0，0），C（﹣2，0，0）， A（0，2，0），D（0，﹣2，14），B1（2，﹣2，14），

A1D?(0,?2,0),BD?(?2,?2,14)

B1D??2,0,0,BC??22,0,0,OA1?0,0,14

??????∵A1DOA1?0，∴A1D⊥OA1， 又∵A1DBC?0，∴A1D⊥BC，

又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC.

点拨：对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.

【设计意图】通过例子熟练掌握空间中平面与平面垂直的证明 ●活动③ 利用直线的方向向量证明面面垂直

例3：在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，PD//MA，E、

G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD?PD?2MA.求证：平面EFG?平面PDC.

【知识点】利用方向向量证明平面与平面垂直 【解题过程】

证明：以A为原点，向量DA,AB,AM分别为x轴、y轴、z轴的正方向，如图建立坐标系，

设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则

1),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， 21∴EG=(-1,0,),GF=(－1,0,0),

2E(0,1,

设n=(x,y,z)为平面EFG的法向量.

1??nEG?0?x?z?0,??由?得?取y=1得n=(0,1,0). 2??nGF?0???x?0,