第2章函数与导数2.5 对数与对数函数 教师版2012-10-23完成

第2章函数与导数 2.5 对数与对数函数 教师

2.5 对数与对数函数

考情分析

本节内容属于高考必考内容，主要考查对数函数的基础知识，以对数的运算法则为依据，考查对数运算，求函数值，对数式与指数式的互化等知识；以考查对数函数的单调性为目的，如比较函数值的大小，解简单的对数不等式等，如2009年高考江苏卷第11题．对数函数还往往作为考查其他章节知识的载体，如与导数结合等．

预测在江苏高考中，对数函数的考查仍然会是热点．

基础梳理

1．对数的概念 (1)对数的定义

如果________________，那么就称b是以a为底N的对数，记作_________，其中__叫做对数的底数，___叫做真数．(ab＝N(a＞0，a≠1)，logN＝b，a，N)

a

(2)两种常见对数

对数形式 常用对数 自然对数 2.对数的性质、换底公式与运算法则 性质 换底公式 ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④logaaN＝N logcNlogbN＝(c＞0且c≠1，b＞0且b≠1) logcb如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么： M①loga(MN)＝logM＋logN，②loga＝logM－logN，③logaMn＝nlogaM. Naaaa特点 底数为10 底数为e 记法 lgx lnx 运算法则 3．对数函数的定义、图象与性质 解析式 定义域 值域 y＝logx，(a＞0，且a≠1) a(0，＋∞) (－∞，＋∞) 图象 单调性 函数值分布 当a＞1时，在(0，＋∞)上为增函数 当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上为减函数 ①当a＞1时：若x＞1，则y>0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y<0； ②当0＜a＜1时：若x＞1，则y<0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y>0 思考感悟 1．logax2=2logax是否正确？ 提示：不一定正确．

?2logax ?x>0??

logax2＝?.

?2log?－x? ?x<0??a

1

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2．对数函数中底数对函数值有何影响？

提示：在同一坐标系内分别作出函数y＝lgx，y＝log2x，y＝log1x，y＝log1x的图象，易看出：

2

10

当a>1时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近x轴；同样地，当0＜a＜1时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近y轴，函数y＝logax与y＝log1x(a＞0，a≠1)的图象关于x轴对

a

称．

课前热身

1．log 9·log32＝________.

8

27

log29log2322log23510解析：log89·log27 32＝·＝·＝.

log28log22733log239

10答案：

9

2．设P＝log3，Q＝log2，R＝log(log2)，则把P、Q、R从小到大排列为____________．

22

2

3

2

32

2

2

3

3

3

3

解析：1＝log2＜P＝log3＜log4＝2，0＝log1＜Q＝log2＜log3＝1， R＝log(log2)＜log1＝0，∴R＜Q＜P.

答案：R＜Q＜P

3．(高考浙江卷改编)已知函数f(x)＝log(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝________.

2

答案：1

4．(高考四川卷改编)函数y＝logx的图象大致是________．

2

答案：③

15．(高考湖南卷改编)若loga<0，()b?1，则a，b的取值范围是________．

22解析：由loga<0?0

2

1由()b?1?b<0.

2答案：0

6．函数log1(x2?3x?2)的递增区间是________．

2答案：(－∞，1)

2

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考点突破

考点一 对数式的化简与求值

熟练掌握对数的运算法则、对数恒等式以及换底公式，善于正用、逆用、变形用这些公式是解答对数式的化简与求值的关键． 例1 计算：

2

(1)(lg2)＋lg2·lg50＋lg25； (2)(log2＋log2)·(log3＋log3)；

3

9

4

8

lg5·lg8000＋(lg2)(3) 11

lg600－lg0.036－lg0.1

22

【思路点拨】 把式子中的对数化为最简形式，再根据对数的运算性质计算． 【解】 (1)原式＝(lg2)＋(1＋ lg5)lg2＋lg5＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5 ＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2； lg2lg2lg3lg3

(2)原式＝(＋)·(＋)

lg3lg9lg4lg8lg2lg2lg3lg33lg25lg35＝(＋)·(＋)＝·＝； lg32lg32lg23lg22lg36lg24(3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3；

分母＝(lg6＋2)－lg3

∴原式＝.

4

【点评】 对数式的有关化简及运算，应熟练掌握对数的运算性质，对有些对数公式及结论的应用要灵活，能结合变形形式，对有关条件或运算形式进行准确地定位，从而得出结果．(1)

n

利用换底公式及logamNn＝logaN，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；

m(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂； (3)利用约分、合并同类项，尽量求出具体值． 变式训练1 计算：

3

3

2m＋n

2

2

32

3616

×＝lg6＋2－lg＝4； 100010100

(1)(lg2)＋(lg5)＋3lg2·lg5； (2)已知log2＝m，log3＝n，求a

a

a

的值．

解：(1)(lg2)＋(lg5)＋3lg2·lg5

＝(lg2＋lg5)[(lg2)－lg2·lg5＋ (lg5)]＋3lg2·lg5 ＝lg10[(lg2＋lg5)－3lg2·lg5]＋3lg2·lg5＝1.

(2)法一：∵log2＝m，∴a＝2.

a

m22

2

33

∵log3＝n，∴a＝3.

a

n

故a

2m＋n

＝(a)·a＝4×3＝12.

am2n

法二：∵log2＝m，log3＝n，a2m?n?a2loga

a

2?loga3?aloga12?12

3

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考点二 对数函数的图象与性质

研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1的两种不同情况．有些看似复杂的问题，借助于函数图象来解决，就显得简单了，这也是数形结合思想的重要体现． 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

例2 当a>1时，函数y?logax和y＝(1－a)x的图象只可能是________．

【思路点拨】 利用对函数的性质判断函数图象．

【解析】 当a>1时，函数y?logax的图象只能在①和②中选．

又a>1时，y=(1-a)x为减函数． 【答案】 ②

【点评】 图象问题涉及知识面较广，函数的性质几乎都在图象上有所反映，抓住图象的显著特征如单调性、奇偶性、对称性、定义域、值域等来判断，有时还要注意图象的变化趋势以及与x、y轴的交点等．

变式训练2 在例2中“a>1”改为“0

解：00，∴y＝(1－a)x为增函数，

∴③正确．

例3 (苏、锡、常、镇四市高三调研)已知函数f(x)?|log2x|，正实数m、n满足m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝________. 【思路分析】利用对数函数的图象结合性质判断m、n的关系．

11

【解析】 由已知条件可得m＜1＜n，且f(m)＝f()＝f(n)，即＝n，∴m2＜m＜1，函数f(x)

mm

15

在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝2f(m)＝2f(n)＝2log2n＝2，解得n＝2，m＝，∴m＋n＝. 22

5

【答案】 2【名师点评】本题应画出函数的草图，结合函数性质解答．观察图象中的特殊点、区域、单调性等特征，将其转化为代数关系式是关键的一步，在这个过程中要设法利用所需要的有效信息来解决问题．

变式训练3 设a?log0.34,b?log43,c?0.3?2，则a，b，c的大小关系是________． 解析：∵a?log0.34?0,b?log43?(0,1),c?0.3?2?1， ∴a＜b＜c. 答案：a＜b＜c

4