《创新设计》2020届高考数学人教A版（理）一轮复习：第八篇 第6讲 空间向量及其运算

高考数学 第6讲 空间向量及其运算

A级 基础演练

(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是 A．0

B．1

( )．

C．2 D．3

解析 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 答案 A

2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝

( )．

A．－4 B．－2 C．4 D．2

解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案 D

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3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C

4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOBπ→→

＝∠AOC＝3，则cos〈OA，BC〉的值为 ( )． A．0 3

C.2

1B.2 2D.2

→→→

解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，

π

由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝3，且|b|＝|c|，

11→→→→

OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝2|a||c|－2|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0. 答案 A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________． →→→→→1→1→1→①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝5OA＋3OB＋2OC； →→→→→→→

③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0；

→→→→→→→→→

解析 ∵MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面． 答案 ③

→→→→→→

6.在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝________.

→→→

解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，

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→→→→→→AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0. 答案 0

三、解答题(共25分)

→7．(12分)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM1→→→＝3(OA＋OB＋OC)．

→→→

(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． →→→→

解 (1)由已知OA＋OB＋OC＝3 OM， →→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， →→→→→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC， →→→

∴MA，MB，MC共面．

→→→

(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内． 8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1

中，G为△BC1D的重心， (1)试证：A1、G、C三点共线； (2)试证：A1C⊥平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离．

→→→→→→→

(1)证明 CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1， 1→→1→→→

可以证明：CG＝3(CB＋CD＋CC1)＝3CA1， →→

∴CG∥CA1，即A1、G、C三点共线．

→→→

(2)证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a， 且a·b＝b·c＝c·a＝0，

→→→→∵CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴→→

CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.

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→→

(3)解 ∵CA1＝a＋b＋c，∴CA12＝a2＋b2＋c2＝3a2， 3→→

即|CA1|＝3a，因此|CG|＝3a. 3

即C到平面BC1D的距离为3a.

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2013·海淀月考)以下四个命题中正确的是

( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向 量的另一组基底

→→C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)aλ－1λ＋μ＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，

1－μ1－μ则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 答案 B

2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为→→→

A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，→

则下列向量中与BM相等的向量是 11

A．－2a＋2b＋c 11

C．－2a－2b＋c

( )．

11

B.2a＋2b＋c 11

D.2a－2b＋c

→→→→1→→

解析 BM＝BB1＋B 1M＝AA1＋2(AD－AB) 111

＝c＋2(b－a)＝－2a＋2b＋c. 答案 A

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