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起第三章 导数及其应用

3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值

B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值

C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值

D．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值

解析：由极值与最值的区别知选D. 答案：D

2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( ) A．无最值 C．有最大值

B．有极值 D．有最小值

解析：f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．

答案：A

12

3．函数f(x)＝x－ln x的最小值为( )

21

A. B．1 C．不存在 D．0 2

2x－11

解析：f′(x)＝x－＝，且x>0，

xx

令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0

所以f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln 1＝.

22答案：A

4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )

A．[0，1) C．(－1，1)

B．(0，1)

?1??D.0，2? ??

解析：因为f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2， 又因为x∈(0，1)，所以 0＜a＜1. 答案：B

5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )

A．f(a)－g(a) C．f(a)－g(b)

B．f(b)－g(b) D．f(b)－g(a)

解析：令u(x)＝f(x)－g(x)， 则u′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0， 所以 u(x)在[a，b]上为减函数，

所以 u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)． 答案：A 二、填空题

1

6．函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为________．

x＋11

解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在[1，3]上f′(x)22

（x＋1）（x＋1）13

＞0恒成立，即f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，4

?313?3

最小值是f(1)＝，故函数f(x)的值域为?2，4?.

2??

?313?

答案：?2，4?

?

?

x2＋2x

7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．

解析：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝ ±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝ －1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32. 答案：32

3

8．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么

2f(x)在[－1，1]上的最小值是________．

解析：f′(x)＝3x2－3x， 令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1. 5

因为f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，

2

1

f(1)＝－＋a，所以 f(x)max＝a＝2.

251

所以 f(x)min＝－＋a＝－.

221

答案：－

2三、解答题

9．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)． (1)若f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， 所以当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1.

(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，

由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)． 当t变化时g′(t)，g(t)的变化情况如下表：

t g′(t) g(t) (0，1) ＋ 递增 1 0 1－m (1，2) － 递减 所以对t∈(0，2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m， h(t)<－2t－m对t∈(0，2)恒成立， 也就是g(t)<0，对t∈(0，2)恒成立，