2020高考数学第二轮专题复习：专题三

专题三 高考易错点分类例析——最后的查

缺补漏

集合、逻辑用语、函数与导数

易错点1 遗忘空集致误

例1 已知A＝{x∈R|x<－1或x>4}，B＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取

值范围是________．

错解 由A∪B＝A知，B?A， ??2a≤a＋3∴?， ?2a>4或a＋3<－1?

解得a<－4或2

∴实数a的取值范围是a<－4或2

错因分析 由并集定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪?＝A，所以错解忽视了B＝?时的情况．

正解 由A∪B＝A知，B?A.

??2a≤a＋3

①当B≠?时，有?，

?2a>4或a＋3<－1?

解得a<－4或2

②当B＝?时，由2a>a＋3，解得a>3. 综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2.

易错突破 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A?B，A∩B＝A，A∪B＝B时，注意对A进行分类讨论，即分为A＝?和A≠?两种情况讨论．

1??

补偿练习1 (1)已知集合A＝?－1，2?，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m组成

?

?

的集合是

( )

A．{0，－1,2} C．{－1,2} 答案 A

?1?B.?－2，0，1?

??

1??

D.?－1，0，2? ??

解析 当m＝0时，B＝?，符合题意；

1??1?1?

当m≠0时，B＝?m?，若B?A，则∈?－1，2?，

m????∴m＝－1或m＝2.

故m＝0，或m＝－1，或m＝2.

(2)已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若A∩R*＝?，则实数p的取值范围为____________． 答案 (－4，＋∞)

解析 由于A∩R*＝?，先求A∩R*≠?的情况有 Δ＝?p＋2?2－4≥0，????p≥0或p≤－4，

即?解得p≤－4. ?p＋2

?p<－2，?－>0，?2?

故当A∩R*＝?时，p的取值范围是(－4，＋∞)． 易错点2 忽视元素互异性致误

例2 已知集合A＝{1，x,2}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则x的不同取值有________种情

况．

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

错解 由x2＝2，解得x1＝2，x2＝－2. 由x2＝x，解得x3＝0，x4＝1. ∴选D.

错因分析 当x＝1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．

正解 ∵A∪B＝A，∴B?A.

∴x2＝2或x2＝x.由x2＝2，解得x＝±2，由x2＝x，解得x＝0或x＝1.当x＝1时，x2＝1，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为2或－2或0，共3种情况，选C.

易错突破 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．

补偿练习2 若A＝{1,3，x}，B＝{x2，1}，且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x为________．

答案 ±3或0

解析 由已知得B?A，∴x2∈A且x2≠1. ①x2＝3，得x＝±3，都符合．

②x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1，∴x＝0. 综合①②，共有3个值．

易错点3 忽视区间的端点致误 x＋3

例3 记f(x)＝ 2－的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)] (a<1)的定义域为B.若

x＋1

B?A，则实数a的取值范围是________．

x＋3

错解 由2－≥0，得x<－1或x≥1.

x＋1

∴A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．

由(x－a－1)(2a－x)>0得(x－a－1)(x－2a)<0. 且a<1，∴2a

∴B＝(2a，a＋1)，∵B?A，

1

∴2a>1或a＋1<－1，∴a>或a<－2.

2

1?∴a∈??2，1?∪(－∞，－2)．

错因分析 从B?A求字母a的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错．

x＋3x－1

正解 ∵2－≥0，得≥0，

x＋1x＋1∴x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ∵(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0. ∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)． ∵B?A，∴2a≥1或a＋1≤－1， 1

即a≥或a≤－2，而a<1，

21

∴≤a<1或a≤－2. 2

1?

故所求实数a的取值范围是(－∞，－2]∪??2，1?.

补偿练习3 设A＝{x|1a}，若AB，则a的取值范围是__________．

答案 (－∞，1]

解析 因为A?B且A≠B，利用数轴可知：a≤1. 易错点4 对命题否定不当致误

例4 命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是

A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数 B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数 D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数 错解 C

错因分析 “x，y都是奇数”的否定中包含三种情况：“x是奇数，y不是奇数”，“x不是奇数，y是奇数”，“x，y都不是奇数”，误把“x，y都不是奇数”作为“x，y都是奇数”的否定而错选C.

正解 “都是”的否定是“不都是”，答案选D.

易错突破 对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．

a2x＋2x－3

补偿练习4 已知集合M＝{x|<0}，若2∈M，则实数a的取值范围是________．

ax－1

( )

1

答案 a≥ 2

2a2＋1

解析 若2∈M，则<0，

2a－1

1

即(2a－1)(2a2＋1)<0，∴a<，

21

∴当2∈M时，a的取值范围为a≥. 2易错点5 充分条件、必要条件颠倒致误

例5 若p：a∈R，|a|<1，q：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另

一个根小于零，则p是q的 A．充分不必要条件 C．充要条件 错解 B

错因分析 由p?q应得p是q的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件． 正解 将两条件化简可得p：－1

故p是q的充分不必要条件，选A.

易错突破 在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误： (1)定义法：直接利用定义进行判断；

(2)逆否法(等价法)：“p?q”表示p等价于q.要证p?q，只需证它的逆否命题綈q?綈p即可，同理要证p?q，只需证綈q?綈p即可，所以p?q，只需綈q?綈p.

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p?q，则p是q的充分不必要条件；若p?q，则p是q的必要不充分条件；若p＝q，则p是q的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范围的数一定在大范围中，即小?大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜．

(4)举反例：要说明p是q的不充分条件，只要找到x0∈{x|p}，但x0?{x|q}即可． 补偿练习5 已知条件p：|x＋1|＞4，条件q：x＞a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a

的取值范围是

( )

( )

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．(－3，＋∞) C．(－∞，3) 答案 B

B．[3，＋∞) D．(－∞，－3]

解析 由题意知，条件p：x＜－5或x＞3，条件q：x＞a，所以綈p：－5≤x≤3，綈q：x≤a.因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以a≥3. 易错点6 忽视函数定义域致误

例6 函数y＝log 1 (x2－5x＋6)的单调递增区间为____________．

2