2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 11 三 12 13 14 总 分 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.

2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）

4241．已知实数x，y满足 4?2?3，y4?y2?3，则4?y4的值为（ ）．

xxx（A）7 （B） 【答】（A）

解：因为x2?0，y2≥0，由已知条件得

12?4?4?4?31?13?1?1?4?3?1?132??y??， ， x284221?137?13 （C） （D）5 22所以

42242 ?y??3?3?y??y2?6?7． 422xxx2?22(?)?(?)?3?022?2另解：由已知得：?x2，显然?2?y2，以?2,y2为根的一元二次方xxx?(y2)?y2?3?0?程为t2?t?3?0，所以 (?2222)?y??1,　　(?)?y??3 22xx422(?2)?y2?(?1)2?2?(?3)?7 故4?y4＝[(?2)?y2]2?2?　xxx2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y?x2?mx?n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ）．

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2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

（A）

54117 （B） （C） （D） 129236【答】（C）

解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知

?＝m2?4n＞0，即m2＞4n.

通过枚举知，满足条件的m，n有17对. 故P?17. 363．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点

可以确定的不同直线最少有( )．

（A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条

【答】（B）

解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．

4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB?a?1．以AB为一边在圆O内作正△

（第3题）

ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB?AB?a，DC的延长线交圆O于点E，则． AE的长为（ ）

（A）

53a （B）1 （C） （D）a 22【答】（B）

解：如图，连接OE，OA，OB． 设?D??，则 ?ECA?120?????EAC．

11又因为?ABO??ABD??60??180??2???120???，

22所以△ACE≌△ABO，于是AE?OA?1． 另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径 作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上，

OECD（第4题）

F11由?F??EDA??CBA??60??30?

22所以AE?EF?sim?F?2?sim30??1

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AB2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．

（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种 【答】（D）

解：设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．

首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．

又如果ai（1≤i≤3）是偶数，ai?1是奇数，则ai?2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．

所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u?v?uv?v．若关于x的方程x?(a?x)??有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ．

【答】a?0，或a??1．

11解：由x?(a?x)??，得(a?1)x2?(a?1)x??0，

4414?a?1?0，依题意有 ? 2???(a?1)?(a?1)?0，解得，a?0，或a??1．

7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．

【答】4．

解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 6x?6y?s． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x?3y?s． ②

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2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

由①，②可得 s?4x，所以

s

?4． x

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．

8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为 ． 【答】9．

解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB． 又MF//AD，所以 ?FMN??BAD??DAC??MFN，

1AB． 211因此 FC?FN?NC?AB?AC?9．

22（第8题）

所以 FN?MN?（第8题答案）

E另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交 AE于点N.

则?E??BAD??DAC??ACE

所以AE?AC?11. 又FN//CE，所以四边形CENF是等腰梯形， 即CF?EN?ANF11BE??(7?11)?9 22BDMC

9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 ．

【答】

16． 3解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r， BC边上的高为ha，则

11aha?S△ABC?(a?b?c)r， 22ra? 所以 ． haa?b?c（第9题答案）

因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此

ha?rDE?， haBC所以 DE?故 DE?ha?rraa(b?c)?a?(1?a)?(?1a?)， hahaa?b?ca?b?c8?（7?）916?．

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