[步步高]2015届高三数学人教B版[配套文档] 常考题型强化练 - 不等式、推理与证明

80 0008 000

所以函数S＝8 100＋＋10x(0

所以当景观区的长为160米，宽为50米时，休闲区ABCD所占面积S最小．

B组 专项能力提升 (时间：30分钟)

1． 某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0

f?10?

则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最小值为 ( )

10A．18 B．27 C．20 D．16 答案 A

2

f?t?t＋10t＋16

解析 平均销售量y＝＝ tt

16

＝t＋＋10≥18.

t

16

当且仅当t＝，即t＝4∈(0,30]时等号成立，

t即平均销售量的最小值为18.

2． 某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分

别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为 A．11 280元 C．10 280元 答案 B

解析 设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，

B．12 480元 D．11 480元

( )

??0≤y≤20

运完全部黄瓜支出的运费为z元，则?8x＋2.5y≥100

x∈N??y∈N

＋＋

0≤x≤10

，

目标函数z＝960x＋360y，此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．

当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低， 且其最低运费zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，选B.

3. 如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的

四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小 值是________平方米． 答案 968

800

解析 设鱼池的长EH＝x，则EF＝，

x

?800＋2? 占地总面积是(x＋4)·?x?

1 600?x＋＝808＋2?x? ?≥808＋2·2

1 600

x·＝968.

x

1 600

当且仅当x＝，即x＝40时，取等号．

x

4． 我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，

利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且其法向量为n＝(1，－2)的直线方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点A(1,2,3)，且其法向量为n＝(－1，－2,1)的平面方程为________． 答案 x＋2y－z－2＝0

→解析 设P(x，y，z)为空间内任意一点，则类比上述结论可得AP·n＝(x－1，y－2，z－3)·(－1，－2,1)＝0，整理得x＋2y－z－2＝0.

5． 某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x(x∈N＋)件之间

4 200－x2的关系为P＝，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000

4 500元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；

(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 4 200－x24 200－x2?4?解 (1)∵y＝4 000··x－2 0001－·x＝3 600x－x3，

4 50034 500??4

∴所求的函数关系式是y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)．

3(2)由(1)知y′＝3 600－4x2. 令y′＝0，解得x＝30. ∴当1≤x<30时，y′>0； 当30

4

∴函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单

3

调递减函数． ∴当x＝30时，

4

函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)取得最大值，

34

最大值为－×303＋3 600×30＝72 000(元)．

3∴该厂的日产量为30件时，日利润最大， 最大值为72 000元．