高中数学经典易错题会诊与试题预测15

点，因此，当a>4或a<0时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时，f(x)无极值点。 4．（典型例题）设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。 （1）当m为何值时，f(x)≥0;

(2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 [考场错解] 令f(x)≥0,x≥ln(x+m).

xx

∴m≤e-x ∴m取小于或等于e-x的整数。

[专家把脉] 上面解答对题意理解错误，原题“当m为何值时，f(x)≥0恒成立”，并不是对x的一定范围成立。因此，m≤ex-x这个结果显然是错误的。

[对症下药] （1）函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)连续，且f’(x)=1-当-m1-m时，f’(x)>0,f(x)为增函数。

根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m,+ ∞)都有f(x) ≥f(1-m)=1-m，故当1-m=f(min)≥0,即m≤1时，f(x)≥0.即m≤1且m∈Z时，f(x)≥0.

-m-m-m-m

(2)证明：由（1）可知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,f(e-m)=e-m-ln(e-m+m)=e>0,又f(x)为连续函

-m

数，且当m>1时，f(e-m)与f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而当m>1时，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+

2m(2m?1)-3m>0. 2x

1,令f’(x)=0,得x=1-m. x?m(∵m>1?2m-1>1).

类似地，当整数m>1时，f(x)=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为连续增函数，且f(1-m)与f(e2m-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x+∈（1-m,e2m-m）使f(x2)=0.

故当整数m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 5．（典型例题Ⅰ）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

32

[考场错解] 设容器的高为x,容器的容积为V，则V=（90-2x）（48-2x）2x=4x-276x+4320x

2

∵V’=12x-552x+4320=0 得x1=10,x2=36 又∵x<10时，V’<0,100,x>36时, V’<0

∴当x=36时，V有极大值V（36）<0 故V没有最大值。

[专家把脉] 上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f’(x)的符号时，计算错误，∵x<10,V’>0;1036,V’>0.

[对症下药] 设容器的高为x，容器的容积为V。 则V=（90-2x）（48-2x）2x

32

=4x-276x+4320x (0

2

∵V’=12x-552x+4320

2

由V’=12x-552x+4320=0得x1=10,x2=36

∵x<10时,V’>0,1036时V’>0.

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所以，当x=10时V有最大值V（10）=1960cm 又V(0)=0,V(24)=0

所以当x=10时,V有最大值V（10）=1960。

3

所以该窗口的高为10cm，容器的容积最大，最大容积是1960cm. 专家会诊

1．证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f’(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)>0(或f(x)<0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。

2．函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f’(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。

3．函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x)在闭区间[a、b]上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。

4．实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f’(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f’(x)=0的解是最值点。 考场思维训练

222

1 已知m∈R,设P：x1和x是方程x-ax-2=0的两个实根，不等式|m-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立。

Q：函数f(x)=x3+(m+)x+6在（-∞,+ ∞）上有极值。 求使P正确且Q正确的m的取值范围。

答案：解：∵|x1-x2|=(x1?x2)2?4x1x2?a2?8(?1?a?1). ∴|x1-x2|≤3

由题意，不等式|m2-5m-3|≥3的解集。由此不等式得 m2-5m-3≤-3 ①

或 m2-5m-3≥3 ② 不等式①的解为0≤m≤5.

不等式②的解为m≤-1或m≥6.

因此，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的。 对函数f(x)=x3+mx2+(m+f’(x)=3x2+2mx+m+

4. 34=0。此一无二次方程的判别式 34)x+6求导 3433

令f’(x)=0，即3x2+2mx+m+

2

△=4m-12(m+)=4m-12m-16．

若△=0，则f'(x)=0有两个相等的实根x0，且f‘(x)的符号如下：

X (-∞,x0) X0 (x0+ ∞) 432

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F’(x) + 0 + 因此f(x0)不是函数f(x)的极值．

若△>0，则f'(x)=0有两个不相等的实x1和x2 (x1

X F’(x) (-∞,x1 ) + X1 0 X1X2 - X 0 2(X -∞) + 2因此，函数f'(x)在x①=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值． 综上所述，当且仅当A>0时，函数f(x)在(-∞，+∞)上有极值．

2

由A=4m-12m-16>0得

m<-1或m>4，因此，当m<-1或m>4时，Q是正确的．

综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为 (-∞，-1)∪(4，5)∪[6，+∞]． 2 已知函数f(x)=

4x2?7∈[0,1] 2?x?4x2?16x?7(2?x)2(1)求f(x)的单调减区间和值域； 答案：对函数F(x)求导，得f'(x)=令f'(x)=0解得x=或x=．

当x变化时f'(x)、f(x)的变化情况如下表． X F’(X) 121272??(2x?1)(2x?7)

(2?x)0 - 72(0, ) - ↘ 121 2(,1) + ↗ 121 -3 0 -4 所以，当x∈(0，)时f(x)是减函数； 当x∈(，1)时f(x)是增函数．

∴当x∈[0，1]时f(x)的值域为[-4，—3]．

32

（2）设a≥1,函数g(x)=x-3ax-2a,x∈[0,1]若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.

22

答案：对函数g(x)求导，得g'(x)=3(x-a)．

因为a≥1时，当x∈(0，1)时，g'(x)<3(1-a2)<0．因此当x∈(0，1)时，g(x)为减函数，从而求x∈[0，1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a]．任给x1∈[0，1],f(x1)∈[-4，-3]．存在x0∈[0，1]使得g(x0)=f(x0)，则[1-2a-3a2，2a][-4，

?1?2a3a2??4?3-3]即 ???2a??3.解得1?

2???a?1123 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1) 求函数f(x)的最大值；

答案：函数的定义域为(-1，+∞),f(x)=

1-1，令f'(x)=0，解得x=0，当-1 0，当x>01?x

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时f'(x)<0，f(0)=0，故当且仅当a=0时,f(x)取得最大值，最大值为0． (2) 设0

a?b)<(b-a) 2a?xa?x)则F'(x)=g'(x)-2[g()]′=lnx-ln′，22答案： g(x)=xlnx，g'(x)=lnx+1，设F(x)=g(a)+g(x)-2g(

当0a时，F'(x)>0，因此F(x)在(a，+∞)上为增

函数．从而x=a时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)=0，b>a．所以F(b)>0． 即0

a?b)． 2 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-lnx-ln2．=lnx-ln(a+x)． 当x>0，G(x)<0，因此C(x)在(0，+∞)上为减函数． 因为G(a)=0，b>a，所以G(b)<0． 即g(a)+g(b)-2g(

a?x)<(b-a)ln2．] 23

2

4 设函数f(x)=2x-3(a+1)x+6ax+8,其中a∈R, (1)若f(x)在x=3处取得极值，求实数a的值。

答案： f'(x)=6x2—6(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因f(x)在x=3取得极值，所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得a=3．经检验当a=3时x=3为f)(x)的极值点．

（2）若f(x)在（-∞，0）上为增函数，求a的取值范围。

答案：令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1．当a<1时，若x∈(-∞，-a)∪(1，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，a)和(1，+∞)上为增函数． 故当0≤o<1时f(x)在(-∞，0)上为增函数．

5 某企业有一条价值a万元的流水生产线，要提高该流水生产线的生产能力，提高产品的增加值，就要对充水生产线进行技术改造，假设增加值y万元与技改把风入x万元之间的关系满足①y与（a-x）x2成正比例；

axa3②当x=时，y=;③0≤≤t,其中t为常数且t∈[0,2].

22(a?x)2(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式，并求其定义域； 答案： f(x)=8a2x2—12x3=(0≤x≤

2ta1，≤t≤2)． 1?2t2（2）求出增加值y的最大值，并求出此时的技改投入x值。

答案： f'(x)=16ax-36x，令f(x)=0，得x=a，当≤t<1时f'(x)=36(x-a)<0．(∵

2

2

23122

492

2ta2>a) 1?2t316ta32ta2ta2ta242

∴f(x)在[0，]上是减数， ∴当x=t时，ymas=f()=,当1≤t≤2时f'(x)=-36(x-a)．∵

1?2t1?2t1?2t9(1?2t)3222162ta220；

333271?2t33探究开放题预测

预测角度 1

利用导数的几何意义

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