高中数学经典易错题会诊与试题预测15

高中数学经典易错题会诊与试题预测（十五）

考点15

导数及其应用 ?导数的概念与运算 ?导数几何意义的运用 ?导数的应用 ?利用导数的几何意义 ?利用导数探讨函数的单调性 ?利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊 命题角度 1

导数的概念与运算 1．（典型例题）设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),?,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考场错解] 选A [专家把脉] 由f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,?,f2005(x)=f’2004(x)=?=f0(x0=sinx前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=?=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx. [对症下药] 选C 2．（典型例题）已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为 （ ）

A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1 C．f()=2(x-1)2 D．f(x)-x+3 [考场错解] 选B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.

[专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。

[对症下药] 选A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f’(1)=3 3.(典型例题) 已知f(3)=2f’(3)=-2，则lim2x?3f(x)的值为 （ ）

x?3x?3A．-4 B．0 C．8 D．不存在 [考场错解] 选D ∵x→3,x-3→0 ∴lim2x?3f(x)不存在。

x?3x?300[专家把脉] 限不存在是错误的，事实上，求型的极限要通过将式子变形的可求的。 [对诊下药] 选C

2x?3f(x)?3[f(x)?f(3)]?6?2x=lim

x?3x?3x?3x?3lim=lim[2?3x?3f(x)?f(3)f(x)?f(3)]?2?3 lim[]?2?3f'(3)?2?3?(?2)?8.

x?3x?3x?3-x

4．（05，全国卷）已知函数f(x)=e(cosx+sinx),将满足f’(x)=0的所有正数x从小到大排成数列；

（2）记Sn是数列{xnf(xn)}的前项和。

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求limn??S1?S2???Sn

n[考场错解] ∵f’(x)=e-x(cosx+sinx)’+(e-x)’(cosx+sinx)

-x

=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2ecosx

?????f(xn?1)( nπ+)n

令f’(x)=0,x=nπ+（n=1，2，3，?）从而xn=nπ+。f(xn)=e-=-e2. 2(-1)2

22f(xn)∴数列{f(xn)}是公比为q=-e的等比数列。

[专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）’=e-x是错误的，由复合函数的求导法则知

-x-x

（e-x）’=e(-x)’=-e才是正确的。 [对诊下药]（1）证明：

-x-x-x-x

f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e(cosx+sinx)’=-e(cosx+sinx)+e(-sinx+cos)=-2esinx. 令f’(x)=0得-2esinx=0，解出x=nπ,(n为整数，从而xn=nπ(n=1,2,3,?)，f(xn)=(-1)ne-nπ所以数列|f(xn)|是公比q=-e的等比数列，且首项f(x1)=-e (2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+?+xnf(xn)

n-1

=nq(1+2q+?+nq)

1?qn?q1?qnnn

aSn=πq(q+2q+?+nq)=πq(-nq)从而Sn=(-nq)

1?q1?q1?q2

n

-π

-π

-x

-π

f(xn?1)??e??,f(xn)S1?S2???Sn?q2?q2?qn?2n??(1?q)?

n(1?q)2n(1?q)3(1?q)2∵|q|=e<1 ∴limqn=0,

n??-π

S1?S2???Sn?q?e???∴lim

nn??(1?q)2(1?e?)2专家会诊

1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则limn??f(x)?f(a)?f'(a) 的

x?a运用。

2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏

3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。 考场思维训练

1 函数f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3时取得极值，则a= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

答案： D 解析：∵f′(x)=3x2+2ax+3.令f′(x)=0.即3x2+2ax+3=0有一根x=-3, ∴3(-3)2-6a+3=0,得a=5. 2 函数f(x)=x3-8x,则函数f(x)在点x=2处的变化率是 （ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4

答案： C 解析：∵f′(x)=3x2-8. ∴x=2时的变化率是f′(2)=3322-8=4. 3 满足f(x)=f’(x)的函数是 （ ） A．f(x)=1-x B．f(x)=x C．f(x)=0 D．f(x)=1

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答案： C 解析：f(x)=0,0′=0, ∴f(x)=f′(x). 4 已知f(x)=ln|2x|, 则f’(x)= ( ) A.C.

11 B. x2x11 D. |x||2x|答案： A 解析：当x>0时，f(x)=ln(2x), ∴f′(x)=c ∴f′(x)= ?11?(?2)?. 2xx5已知函数f(x)=ln(x-2)-(1)求导数f’(x) 答案： f′(x)=

x2(a为常数且a?0) 2a1x??(x?2). x?2a(2)解不等式:f’(x)>0 答案：令f′(x)=即???x?0??x?2x?a?021x??0(x?2). x?2ax2?2x?a?0的??4?4a.

（i）当a ≤-1时，x2+2x-a>恒成立，∴x>2.

(ii)当a>-1时，??0,x2?2x?a?0的解集为{x|x>a?1?1或x??a?1?1} ∴当-18时，a?1?1>2, ∴x>a?1?1.

综合得，当a≤8时，f′(x)>0的解集为（2，+∞）. 当a>8时，f′(x)>0的解集为（a?1?1，+∞）.

命题角度 2

导数几何意义的运用

1.(典型例题)曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________.

[考场错解] 填2 由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，∴切线方程为y-1==x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=×2×2=2。

[专家把脉] 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。

[对症下药] 填。∵f’(x)=3x 当x=1时f’(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1) 得y=3x-2.

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12

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联立??y?3x?22得交点（2，4）。又y=3x-2与x轴交于（，0）。

3x?2?122383∴三条直线所围成的面积为S=×4×（2-）=。

2．（典型例题）设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。

（1）用t表示a、b、c；

（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。

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[考场错解] （1）∵函数f(x)=x+ax与g(x)=bx+c的图像的一个公共点P(t,0).∴f(t)=g(t)?t+at=bt+c.

3

①又两函数的图像在点P处有相同的切线，∴f’(t)=g’(t) ?3t+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴

3

c=-t.

[专家把脉] 上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由①、②两式是不可用t表示a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t3+at=0，因为t≠0,所

2

以a=-t.

2

g(t)=0即bt+c=0,所以c=ab

又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，

2223

所以f’(t)=g;(t).即3t+a=2bt, ∵a=-t, ∴b=t.因此c=ab=-t2t=-t.

23

故a=-t,b=t,c=-t

3223

(2)解法1 y=f(x)-g(x)=x-tx-tx+t

22

y’=3x-2tx-t=(3x+t)(x-t).

当y’=(3x+t)(x-t)<0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。 由y’<0,若t<0,则t0,则-

则题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则（-1，3）?（-,t）或（-1，3）?（t，-） 所以t≥3或-≥3。即t≤-9或t≥3。

又当-9

3223

解法2 y=f(x)-g(x)=x-tx-tx+t,

22

y’=3x-3tx-t=(3x+t)(x-t).

∵函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，且y’=(3x+t)(x-t)≤0在(-1,3)上恒成立， ∴??y'|x??1?0?(?3?t)(?1?t)?0即?

y'|?0(9?t)(3?t)?0??x?3t3t3t3t3t3解得 t≤-9或t≥3.

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3.(典型例题)已知函数f(x)=ax+bx-3x在x=±1处有极值。 （1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。

（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。 [考场错解] （1）f’(x)=3ax2+2bx-3.依题意f’(1)=f’(-1)=0. 即??3a?2b?3?0 解得：a=1,b=0.

?3a?2b?3?03

2

∴f(x)=x-3x,f’(x)=3x-3=3(x-1)(x+1)令f’(x)=0.得x=±1.

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