2016年考研数学二真题与解析

天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn

2016年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是（ ）

（A）(2,??) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)

??1212???1?【详解】ln?(1?2x)~2?x?，是?阶无穷小，(1?cosx)?~1x?是阶无穷小，由题意可知?2

??1?2???1122所以?的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是

2（A）y?x?sinx （B）y?x?sinx（C）y?x?sin （D）y?x?sin1x21 x【详解】对于y?x?sin，可知limx??1xy1?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?x

x??x??xx应该选（C）

3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ）

（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然

g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f??(x)?0时，曲线是凹

的，也就是f(x)?g(x)，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则F(0)?F(1)?0，且F\(x)?f\(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而F(x)?F(0)?F(1)?0，即F(x)?f(x)?g(x)?0，也就是

Page 1 of 11

天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn

f(x)?g(x)，应该选（D）

?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（ ） 2?y?t?4t?1（Ａ）

1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510 50100y\(1?y'2)32【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K?，曲率半径R?1． K22dxdydy2t?42dy1t?2t,?2t?4，所以??1?，2?本题中??3，

dtdtdx2tt2tdxt?对应于t?1的点处y'?3,y\??1，所以K?应该选（C）

5．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf'(?)，则limx?0y\(1?y'2)3?11010，曲率半径R?1?1010． K?2x2?（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

211 （Ｃ） （Ｄ） 3231133x?0时,arctanx?x?x?o(x)． ，（2）231?x【详解】注意（1）f'(x)?由于f(x)?xf'(?)．所以可知f'(?)?1f(x)arctanxx?arctanx2，， ????xx1??2(arctanx)213x)?o(x3)13?． 3x3limx?0?2x2?limx?0x?arxtanx?limx(arctanx)2x?0x?(x??2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及

?x?y?2u?2u． ?2?0，则（ ）2?x?y

（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

Page 2 of 11

天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在

?2u?2u?2u?2u?u?u内部存在驻点(x0,y0)，也就是，由??0，在这个点处A?2,C?2,B???x?y?x?y?y?x?x?y条件，显然AC?B?0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．

所以应该选（A）．

27．行列式

0aa0b00b0cd0c00d等于

22（A）(ad?bc) （B）?(ad?bc) （C）ad?bc （D）?ad?bc

22222222【详解】

0a0cab0a0ba0b00babab??a0d0?b0c0??ad?bc??(ad?bc)2

cd0cdcdc0dc0d00d应该选（B）．

8．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量?1,?2,?3线性无关，则

?10???（?1?k?3，?2?l?3）?(?1,?2,?3)?01??(?1,?2,?3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等

?kl???于2，所以向量?1?k?3，?2?l?3一定线性无关．

?1??0??0???????而当?1??0?,?2??1?,?3??0?时，对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关，但

?0??0??0??????? Page 3 of 11

天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn

． ?1,?2,?3线性相关；故选择（A）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1dx? ．

x2?2x?511dx1x?11dx??arctan|??????x2?2x?5???(x?1)2?42219．

?1??【详解】

1????3?． ??(?)??2?42?810．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)? ． 【详解】当x??0,2?时，f(x)??2(x?1)dx?x2?2x?C，由f(0)?0可知C?0，即

f(x)?x2?2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)?f(?1)?f(1)?1．

11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11?? ．

?,?4?22?【详解】设F(x,y,z)?e2yz71?x?y2?z?，Fx?1,Fy?2ze2yz?2y,Fz?2ye2yz?1，当x?y?42FyFx11?z1?z1时，z?0，????，????，所以dz|?11???dx?dy．

?,?22?xFz2?yFz2?22?12．曲线L的极坐标方程为r??，则L在点(r,?)??????,?处的切线方程为 ． ?22?【详解】先把曲线方程化为参数方程??x?r(?)cos???cos???，于是在??处，x?0,y?，

22?y?r(?)sin???sin??2dysin???cos?2????|??|???，则L在点(r,?)??,?处的切线方程为y???(x?0)，即

2?dx2cos???sin?2??22?y??2x??2?.

213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标

x? ．

Page 4 of 11