2020高中数学人教A版必修5第一章解三角形章末测试题A

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【高考调研】2015年高中数学 第一章 解三角形章末测试题（A）新

人教版必修5

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC中，下列等式不成立的是( ) A．c＝a＋b－2abcosC B.

＝ sinAsinB22abC．asinC＝csinA

a2＋c2－b2

D．cosB＝ 2abc答案 D

a2＋c2－b2

解析 很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cosB＝，所以D不成立．

2ac2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( ) A．75° C．45° 答案 B

13

解析 由S△ABC＝33＝×3×4sinC，得sinC＝，又角C为锐角，故C＝60°.

223．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( ) A．76 C．27 答案 B

解析 由余弦定理，得b＝a＋c－2accosB＝76，所以b＝219. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于( ) A．30° C．60° 答案 D

B．30°或150° D．60°或120°

2

2

2

B．60° D．30°

B．219 D．27

abb433

解析 由正弦定理，得＝.所以sinB＝sinA＝sin30°＝.又a

sinAsinBa42A

5．已知三角形的三边长分别为a，b，a＋ab＋b，则三角形的最大内角是( ) A．135°

B．120°

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2

2

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C．60° 答案 B 解析

D．90°

a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦

a2＋b2－a2＋b2＋ab1

定理，得cosα＝＝－，所以三角形的最大内角是120°.

2ab2

6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )

A.C.π

6π 2

B.D.π 32π 3

答案 B

解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b＋a－c＝ab.由余弦定理，得cosC2

2

2

a2＋b2－c21π＝＝，所以C＝. 2ab23

7．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的内角B、C之间的关系是( ) A．B>C C．B

8．在△ABC中，B＝60°，b＝ac，则这个三角形是( ) A．不等边三角形 C．等腰三角形 答案 B

9．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 C

10．△ABC中，已知sinB＝1，b＝3，则此三角形( ) A．无解 C．有两解 答案 D

11．在△ABC中，若A

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B．10,10 D．12,8 B．只有一解 D．解的个数不确定 B．直角三角形 D．等边三角形 B．等边三角形 D．直角三角形

2

B．B＝C D．关系不确定

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解析 ∵C＝2A，∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA. 100＋c－a由正弦定理，余弦定理可得c＝2a·，

2×10c将a＝20－c代入上式整理，得c－22c＋120＝0，解得∴c＝10(舍去)或c＝12.∴a＝8.

→

－1，则△ABC的周长是( )

A．3 C．36 答案 C

解析 由已知得O是△ABC的重心， →→→→

∴OB·CA＝0.∴OB⊥CA.同理，OA⊥BC，

→→

→

→

→

由OA·OB＝OB·OC，得OB·(OA－OC)＝0.

B．6 D．96 →→

→→→→→→

12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足OA＋OB＋OC＝0，OA·OB＝OB·OC＝OC·OA＝

2

2

2

OC⊥AB.∴△ABC为等边三角形．

→→→2π

故∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，|OA|＝|OB|＝|OC|＝2.

3在△AOB中，由余弦定理，得

AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos

2π

＝6. 3

∴AB＝6，故△ABC的周长是36.

讲评 本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________. 答案 42

sinAsin30°解析 B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝b＝×8＝42.

sinBsin45°14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 答案 3

2

AB2＋AC2－BC225＋AC－49

解析 在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝cos120°＝，即＝

2×AB×AC2×5×AC1

－. 2

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解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.

15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________. 答案

7 25

113

解析 由题意，得S＝CA×CBsinC，则12＝×5×8sinC.所以sinC＝.则cos2C＝1

22572

－2sinC＝. 25

16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.

答案 203

403

3

解析 如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.

则在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝20(m)，所以AB＝ACtan60°＝203(m)，在△BCD中，BC＝40(m)，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDCBCCDsin∠CBD＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得＝，所以CD＝BCsin∠BDCsin∠CBDsin∠BDC403

＝.

3

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosBcosC1－sinBsinC＝.

2

(1)求A；

(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．

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