2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题

函数

f(x)在

x?2a3处取得极大值

3?2a?4af????b．………………………………………………8分

327??由于对任意a??3,4?，函数f(x)在R上都有三个零点，

所以

?f???f??0???2a????0.?3?0即

?b?0,?3……………………………………………………………………10分 ?4a?b?0.??274a3?b?0．……………………………………………………………………………………解得?2711分

?4a3?4a34?33??4．………………因为对任意a??3,4?，b??恒成立，所以b??????2727?27?max13分

所

以

实

数

b的取值范围是

??4,0?．……………………………………………………………………14分

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．…………………………………………………………………1分

y2设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，

b21?b2?5，即b?2． 因为双曲线的离心率为5，所以1所

以

双

曲

线

C的方程为

y2x??1．……………………………………………………………………3分

42（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），

则

直

线

AP的方程为

y?k(x?1)，………………………………………………………………………4分

联

立

方

程

组

?y?k?x?1?,?………………………………………………………………………………5分 ?2y2?1.?x??4整理，得4?k2x2?2k2x?k2?4?0，

??解得

x??1或

4?k2x?4?k2．所以

4?k2x2?．…………………………………………………………6分

4?k24?k2同理可得，x1?．…………………………………………………………………………………24?k7分

所

以

x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分

证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则kAP?4分

因为kAP5分

y1y2，kAT?．…………………………………………………………………………x1?1x2?1y1y2y12y22?kAT，??所以，即．……………………………………22x1?1x2?1?x1?1??x2?1?y12y222?1，x2??1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x?4421

即y12?4x12?1，y22?41?x22．…………………………………………………………………6分

所以7分

所

以

????4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2，即

x1?11?x2?．……………………………………………………x1?1x2?1x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分

证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?4分

联

立

方

程

组

y1(x?1)，………………………………………x1?1y1?y??x?1?,?x?1?1…………………………………………………………………………5分 ?2?x2?y?1.??4222222?整理，得?4(x?1)?yx?2yx?y?4(x?1)?0， 11111??4(x1?1)2?y12解得x??1或x?．…………………………………………………………………6

4(x1?1)2?y12分

114(x1?1)2?y12x?x?将y?4x?4代入x?，得，即． 222xx4(x1?1)?y1112121所以x1?x2?1．…………………………………………………………………………………………8分

（3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），

则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．

222因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x1?y1?16．…………………………

9分

y12?1，所以x12?4x12?4?16，即x12?4． 因为点P在双曲线上，则x?421

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．…………………………………………10分

111|AB||y2|?|y2|，S2?|OB||y1|?|y1|， 222122222222所以S1?S2?y2?y1??4?4x2???x1?1??5?x1?4x2．……………………………11

4因为S1?分

由（2）知，x1?x2?1，即x2?2设t?x1，则1?t?4，

1． x1S12?S22?5?t?设f?t??5?t?4． t4?2?t??2?t?4，则f??t???1?2?， 2ttt当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0， 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，

22所以当t?4，即x1?2时，S1?S2??min?f?4??0．……………………………………………

12分

当t?2，即x1?2时，S1?S213分

22所以S1?S2的取值范围为?0,1?．……………………………………………………………………

?22?max?f?2??1．………………………………………………

14分

说明：由S1?S2?5?x1?4x2

22?22??5?4xx12?1，得?S12?S22?max?1，给1分．