函数与方程知识点总结

函数与方程知识点总结

1、函数零点的定义

（1）对于函数y?f(x)，我们把方程f(x)?0的实数根叫做函数y?f(x)的零点。

（2）方程f(x)?0有实根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)?0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)?0，所得实数根就是f(x)的零点 （3）变号零点与不变号零点

①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。 ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。

③若函数f(x)在区间?a,b?上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)?0是f(x)在区间?a,b?内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)?f(b)?0，那么， 函数y?f(x)在区间?a,b?内有零点，即存在x0?(a,b)，使得f(x0)?0，这个x0也就是方程f(x)?0的根。 （2）函数y?f(x)零点个数（或方程f(x)?0实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数y?f(x)的零点?f(x)?0的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 （3）二次函数零点个数确定

??0?y?f(x)有2个零点?f(x)?0有两个不等实根； ??0?y?f(x)有1个零点?f(x)?0有两个相等实根；

??0?y?f(x)无零点?f(x)?0无实根；对于二次函数在区间?a,b?上的零点个数，要结合图像进行确定. 1、 二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)?0的函数y?f(x),通过不断地把函数y?f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:

1

① 确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?;②求区间(a,b)的中点c;③计算f(c); (ⅰ)若f(c)?0,则c就是函数的零点;(ⅱ) 若f(a)?f(c)?0,则令b?c(此时零点x0?(a,c)); (ⅲ) 若f(c)?f(b)?0,则令a?c(此时零点x0?(c,b));

④判断是否达到精确度?,即a?b??,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.

【经典例题】

【例1】函数f(x)=2+x?2在区间(0,1)内的零点个数是 （ B ）

A、0 B、1 C、2 D、3

【解析】解法1：因为f(0)=1+0?2=?1，f(1)=2+2?2=8，即f(0)?f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1. 解法2：设y1=2，y2=2?x，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.

4x33x32510 【例2】函数 f(x)＝2＋3x的零点所在的一个区间是 ( B )

x2A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 5－【解析】∵f(－1)＝21＋3×(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1) f(0)<0. 62∴ f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)． 84【例3】下列函数中能用二分法求零点的是 ( C )

2

. 【例4】若函数f(x)?ax?x?a (a?0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是（1，??）【解析】?函数f(x)=ax?x?a (a?0且a?1)有两个零点，?方程ax?x?a?0有两个不相等的实数根，即

x两个函数y?a与y?x?a的图像有两个不同的交点，当0?a?1时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不

合题意；当a?1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

?x2?2x?3,x?0【例5】函数f(x)??， 零点个数为 （ B ）

??2?lnx,x?0A、3 B、2 C、1 D、0

【例6】若函数f(x)?x3?x2?2x?2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f (1) = －2 f (1.375) = －0.260 f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054

（ C ）

那么方程x3?x2?2x?2?0的一个近似根（精确到0.1）为

A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5

【例7】如果二次函数y?x?x?m?3有两个不同的零点，则m的取值范围是 （ C ） A、(211111111,??) B、(??,) C、(??,) D、(,??) 4242【例8】方程lgx?x?0根的个数为 （ D ） A、无穷多 B、3 C、1 D、0

3【例9】用二分法研究函数f(x)?x?3x?1的零点时，第一次经计算f(0)?0，f(0.5)?0，可得其中一个零点

x0? ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( A )

A、（0，0.5），f(0.25)

B、（0，1），f(0.25)

C、（0.5，1），f(0.7（0，0.5），f(0.15) D、25)

反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)?0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

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