北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲

勾股定理

第一节 探索勾股定理

●应知 基础知识

1、勾股定理

（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．

（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b，斜边为c，那么有 。 2、理解

（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。

（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。

（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。 一般情况下，用a,b表示直角边，c表示斜边，则有：

a2?b2?c2b2?c2?a2 a2?c2?b2在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。

【例1】在?ABC中，?C?90， （1）若a?3,b?4,则c? ； （2）若a?6,c?10，则b? ；

（3）若a:b?3:4,c?15，则a? ，b? 。

【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。

3、勾股定理的验证

至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。

【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾

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股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长 直角边为b，那么(a?b)2的值为（ ）．

A．13 B．19 C．25 D．169 ●应会 基本方法

1、如何利用勾股定理求长度

利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。

【例4】如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

【例5】已知：如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是Rt∠，∠A=45°．若DC=2cm， AB=5cm，求AD和BC的长．

【例6】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第② 个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．

（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；

（n为正整数） （2）归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长．

2、如何利用勾股定理求面积

利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，把所求得面积转化到已知的数量关 系中去，有时还要注意整体思想的应用。

○

【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3 =225，则S2= 。

S1 C A

S2 S3 - 2 -

B

变式：将△ABC外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？

如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______．

【例8】下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）

A．13 B．26 C．47 D．94

【例9】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

3、勾股定理与方程相结合的应用

在进行直角三角形的有关计算中，如果不能直接运用勾股定理求解时，往往通过勾股定理列方程求解。

【例10】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

【例11】如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．

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【例12】为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？

【例13】一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。 (1)这个梯子顶端离地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？

【规律总结】

第二节 勾股定理逆定理

● 应知 基础知识

1、勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是 ，且最长边所对的角为 。

总结：到目前为止判定直角三角形的方法有多少种了？

2、理解：（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

（2）如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形： 首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）

其次验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的三角形；若c2

3．勾股数

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 ．

显然，一组勾股数必须满足两个条件：①满足 ；②都是 。

若(a，b，c)为一组基本勾股数，则(ka，kb，kc)也为勾股数，其中k为正整数。即将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数仍是一组勾股数。

【例1】若三角形三边长分别为m?1,m?2,m?3，当m? 时，此三角形为直角三角形。 【例2】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n?1，且为自然数）。 上面各组数中，勾股数有 （填序号）。

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