2020届高中数学分册同步讲义(选修2-2) 第2章 2.1.1 合情推理与演绎推理

类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定

22理的结构，我们猜想S2＝S21＋S2＋S3成立．

[素养评析] (1)平面与空间的类比是最常见的一种类比，一般地，进行平面与空间的类比时，常见的对象如下：

平面 空间

(2)归纳推理、类比推理都属于逻辑推理，通过此类题目的训练，可以提升逻辑推理的数学核心素养．

点 直线 直线 平面 边长 面积 面积 体积 三角形 四面体 平行四边形 平行六面体 圆 球

1．下列说法正确的是( )

A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想

D．合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B

底×高

2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式2S扇等于( ) r2A. 2lrC. 2答案 C

lr

解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S扇＝.

2

a1＋a2＋…＋a8a4＋a5

3．在等差数列{an}中，有结论＝，类比该结论，在等比数列{bn}中，可

82有结论( )

b1＋b2＋…＋b8b4＋b5

A.＝ 82B.b1＋b2＋…＋b8＝b4＋b5 C.b1b2…b8＝b4b5 D.b1b2…b8＝b4b5 答案 D

4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8

解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2， 11

则V1∶V2＝S1h1∶S2h2＝S1h1∶S2h2＝1∶8.

33

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4的值； (2)猜想an的表达式．

解 (1)因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，

88

l2

B. 2

D．不可类比

3

所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝，

233

又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝，

24333

又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋，解得a4＝.

248

33333333

(2)由(1)知a1＝3＝0，a2＝＝1，a3＝＝2，a4＝＝3，…，猜想an＝n－1(n∈N*)．

22242822

1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为

从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想

一、选择题 1．已知

22＋＝23

2，3

33＋＝38

3，8

44＋＝415

4，…，若15

a7＋＝7b

a(a，b

b∈R)，则( ) A．a＝7，b＝35 C．a＝6，b＝35 答案 B

解析 根据所给式子可以归纳出b＝a2－1. 2．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )

A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”

B．a＝7，b＝48 D．a＝6，b＝48

a＋bab

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”

cccD．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn” 答案 C

解析 显然A，B，D不正确，只有C正确．

3.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

A.

B．△