2020届高中数学分册同步讲义(选修2-2) 第2章 2.1.1 合情推理与演绎推理

反思感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法

①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．

(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；

②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式． 跟踪训练1 (1)观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …

由以上等式推理得到一个一般性结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n1n2＝_______. 答案 (－1)

n＋1

＋

n2＋n

2

n2＋n

解析 注意到第n个等式的左边有n项，等式右边的绝对值等于.当n为奇数时，等式

2右边的符号为正；当n为偶数时，等式右边的符号为负．因此所填结果是(－1)

n＋1

n2＋n

. 2

131151117(2)1＋2<，1＋2＋2<，1＋2＋2＋2<，…，照此规律，第五个不等式为______________．

2223323441111111答案 1＋2＋2＋2＋2＋2<

234566命题角度2 图形中的归纳推理

例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )

A．26 B．31 C．32 D．36 答案 B

解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：

图案 个数

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 反思感悟 归纳推理在图形中的应用策略

1 6 2 11 3 16 … …

跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 C．6n＋2 答案 C

解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一个以首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝8＋(n－1)×6＝6n＋2.

二、类比推理

例3 在等差数列{an}中，如果m，n，p，r∈N*，且m＋n＋p＝3r，那么必有am＋an＋ap＝3ar，类比该结论，写出在等比数列{bn}中类似的结论，并用数列知识加以证明．

解 类似结论如下：在等比数列{bn}中，如果m，n，p，r∈N*，且m＋n＋p＝3r，那么必有bmbnbp＝b3r.

证明如下：设等比数列{bn}的公比为q，则bm＝b1qm1，bn＝b1qn1，bp＝b1qp1， br＝b1qr1，

m于是bmbnbp＝b1qm1·b1qn1·b1qp1＝b31q

－

－

－

＋n＋p－3

－

－

－

－

B．8n－2 D．8n＋2

3q3r3＝(bqr1)3＝b3，故结论成立． ＝b11r

－－

反思感悟 (1)等差数列与等比数列是一对重要的类比对象，两者在很多方面可以进行类比，例如，等差数列中项的加、减、倍数运算与等比数列中的乘、除、开方运算相对应． (2)进行类比推理时，要注意比较两个对象的相同点和不同点，找到可以进行类比的两个量，然后加以推测，得到类比结果，最好能够结合相关的知识进行证明，以确保类比结果的合理性．

a1＋a2＋…＋an跟踪训练3 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差

n数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝________(n∈N*)

也是等比数列． 答案

n

c1c2c3…cn

a1＋a2＋…＋an

解析 数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．类

n比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝c1c2c3…cn时，数列{dn}也是等比数列．

n

平面与空间的类比

典例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

解 如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.