圆锥曲线定义的运用

问题导学公开课

课题：圆锥曲线定义的运用

江苏省镇江第一中学 唐毅

教学设计的说明：

一、本节课的教学背景

1、本课是一节《全日制普通高级中学教科书（必修）?数学》(苏教版)选修2－1，第二章（圆锥曲线与方程）复习课.

圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,根据作业、试卷批改错误率的统计、学生问题的收集，我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略.

2、从数学思想方法来看，所谓定义法，就是直接利用数学定义解题的一种方法．从本质上说，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．因此用定义法解题，是最直接的方法．那么，什么叫定义呢？定义是揭示概念内涵的逻辑方法，也就是通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念的逻辑方法．定义，是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点．简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象．

3、从新课程教学要求，高考的考试说明来看，也要求学生理解数学概念的实质，能从定义出发分析问题、转化问题、解决问题. 二、学生障碍原因分析

由于这部分知识较为抽象,难以理解.我发现学生主要有以下几方面问题：

1、学生初中知识的负迁移，初中学习时定义少、运算多、重视运算规律，忽视了对定义的深刻理解，从而不会主动的用定义.

2、思维习惯上的问题，一味的追求方法、技巧、模仿、记忆多，理解、探究少，数学思维层次不高，忽视数学概念的本质.

3、关注知识的背景和应用不够，导致学习过程不完整，几何意义方面的运用不熟练. 4、数学语言间的转化不够，代数方程式的不理解等. 三、解决问题的设想及方法

1、离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生平时学习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.

2、定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是本节课首先要弄清楚的问题.为了加深学生对圆锥曲线定义理解，以圆锥曲线的定义的运用为主线,准备了例1两道练习题.为杜绝一些错误认识在学生大脑中滋生、萌芽，采用电脑多媒体辅助教学——制作若干“电脑小课件”，一旦有学生提出错误的解法,就向学生们展示.希望用形象生动的“电脑课件”使学生对问题有正确的认识.

3、例2的设置目的是为学生自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件”，引导学生对自己的结论进行验证.

4、运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题化归为几何中求最大（小）值的模式，也是学生们比较容易混淆的一类问题.例3的设置就是为了方便学生的辨析.

1

问题导学公开课

教学设计：

一、教学目标：

1．理解圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程.

2．通过问题探究，深化对圆锥曲线定义的理解， 培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.

3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 二、教学重点与难点：

围绕学生对圆锥曲线定义理解的问题，归纳分析 三、教学过程设计：

（一）变换代数方程形式，理解圆锥曲线定义

教师：同学们我们已经学习过了《圆锥曲线》这一章节，从大家的学习效果和课前提出的问题 来看，我们有必要对圆锥曲线的定义及应用作一次总结和提升. 例题1：(1) 已知A（－2，0）， B（2，0），动点M（x，y）满足(x?2)2?y2?则点M的轨迹是

答案：以A、B为焦点的椭圆（若学生平方化简，肯定其可以得到答案，只是还需要一定时间，

相信他一定能成功！）

教师：问题：若想答案是其他…，条件要怎么改？

方案1：6改4，轨迹又是什么呢？ 方案2：4改3轨迹又是什么呢？

方案3：(x?2)2?y2?方案4：(x?2)2?y2?方案5：(x?2)2?y2?(x?2)?y(x?2)?y(x?2)?y2222(x?2)?y22?6，

?6 ?4 ?3

22回忆概括椭圆、双曲线定义的文字语言

点评问题：代数语言是利用什么转换成几何语言了？

（2）已知动点 M（x，y）满足x2?(y?2)2?|y?2|，则点M的轨迹是 学生：…

教师：1、化简的方法给了我们很好的启示，2、剖析该问题的几何意义，联想到抛物线

的定义.

问1：已知动点 M（x，y）满足x2?(y?2)2?|y|，则点M的轨迹是 以（0，2）为焦点y?0为准线的抛物线

2

问题导学公开课

问2：已知动点 M（x，y）满足5x2?(y?2)2?|3x?4y|，则点M的轨迹是 以（0，2）为焦点3x?4y?0为应准线的抛物线

教师：同学们请多观察一下这一方程，有什么想法呢？

（如果有学生提出：可以利用变形来解决问题，那么就可以循着他的思路，先对原等式

做变形：

x?(y?2)|3x?4y|522?1这样，很快就能得出正确结果.如若不然，将启发他们从等

式两端的式子入手，考虑通过适当的变形，转化为学生们熟知的两个距离公式.） 若想答案是其他…，条件要怎么改？

问3：已知动点 M（x，y）满足5x2?(y?2)2?|3x?4y?8|，则点M的轨迹是 过（0，2）和3x?4y?8?0垂直的直线（几何意义与代数化简比较）

问4：已知动点 M（x，y）满足x2?(y?2)2?|3x?4y|，则点M的轨迹是 以（0，2）为焦点3x?4y?0为对应准线的双曲线

问5：已知动点 M（x，y）满足6x2?(y?2)2?|3x?4y|，则点M的轨迹是 以（0，2）为焦点3x?4y?0为对应准线的椭圆

教师：根据以上几种情形，探究轨迹时有什么规律？（有什么共同特征？） 学生：…

归纳点评：1、回忆圆锥曲线的统一定义，2、代数化简是否就能熟知其轨迹；3、几何意义——抓住定义进行判断，也是代数语言向几何语言进行转换

板书：代数方程语言????几何语言 （二）自主几何探究、深化定义认识 例题2：设点Q是圆C：(x?1)?y22定义?25上动点,点A（1，0）是圆内一点,AQ的垂直平

分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程. y Q M AC x 引申:若将点A移到圆C外,点M的轨迹会是什么?

654321-8-6-4-22468-1-2-3-4 3

问题导学公开课

探究1：设动圆M与圆A：(x?1)?y动圆圆心M的轨迹方程.

22?1外切，与圆B：(x?1)?y?16内切，求

22探究2：设动圆M与圆A：(x?2)?y22?1外切，与圆B：(x?2)?y?1内切，求

22动圆圆心M的轨迹方程.

归纳点评：由静及动，动态理解圆锥曲线的形成过程，华罗庚的话：数缺形时少直观，形缺数时难入微.

定义板书：代数方程语言????几何语言

（三）运用圆锥曲线定义，化归解析几何问题

例3已知动圆P过定点B(?3,0)，且与定圆C：(x?3)2?y2?100相内切， （1）求△PBC面积的最大值. （2）若点A的坐标为(-2,2), 求PA?PB的最小值. 3（3）若点A的坐标为(-2,2), 求PA?PB的最小值.

5

探究1：若点A的坐标为（3，4），F为抛物线y?4x的焦点，点P是抛物线上一动点，求PA?PF的最小值.

探究2：若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y?4x的焦点，点P是抛物线上一动点，求PA?PF的最小值.

探究3：若点A的坐标为（3，2），F为双曲线

x2224?y212?1的右焦点，点P是双曲线右支

上一动点，求PA?PF的最小值.

归纳点评：如何根据已有的经验并结合数学模型，自觉的去寻求解决方案，所有这些方法的背后都有一个共同的核心“定义”，我们每一次借助定义的感觉，那就象踏上和谐号动车一样被快捷准确的送达目的地.

（四）教学总结、布置作业 1、今天学了点什么？

2、每位同学能否再出一道和圆锥曲线定义相关的题，下一次我们再交流.

四、教学反思：课后完成

4