《数学分析》（华师大二版）课本上的习题19

第十九章 含参量积分

P.178 含参量正常积分 习题 1. 设x,y?Rn，证明：x?y2?x?y2?2(x?y).

y?E222. 设E?Rn,点x?Rn到集合E的距离定义为?(x,E)?inf?(x,y).

证明：（1）若E是闭集，x?E,则?(x,E)?0;

（2）若E是E连同其全体聚点所组成的集合（称为E的闭包）,则E?x?(x,E)?0. 3. 设x?Rn,y?Rm,f:X?Y;A,B是X的任意子集.证明： （1）f(A?B)?f(A)?f(B); （2）f(A?B)?f(A)?f(B);

（3）若f是一一映射，则f(A?B)?f(A)?f(B).

4. 设f,g:Rn?Rm,a?Rn,b,c?Rm,limf(x)?b,limg(x)?c.证明：

x?ax?a?? (1) limf(x)?b,且当b?0时可逆；

x?a (2) lim[f(x)g(x)]?bc.

x?aTT5. 设D?R,f:D?R.若存在正实数k,r，对任何点x,y?D满足 f(x)?f(y)?kx?y， 试证明f是D上的连续函数. 6. 设x,y?R，证明下列各式： （1）

nrnm?xi?nx; （2）x?yx?y?x?y；

i?1n22（3）x?y?x?y.

并讨论各不等式等号成立的条件和解释n?2时的几何意义. 7. (1)证明定理19.6;

(2) 设D?R,试问向量函数f:D?R在D上一致连续，是否等价于f的所有坐标函数fi,i?1,2,?,m都在D上一致连续？为什么？

nm８. 设f:R?R为连续函数，A?R为任意开集，B?R为任意闭集．试问f(A)是

nnnm否必为开集？f(B)是否必为闭集？ P.189 含参量反常积分 习题 1. 证明定理19.12.

2. 求下列函数的导数：

(1) f(x1,x2)?(x1sinx2,(x1?x2),2x2)，求f?(x1,x2)和f?(0,2 (2) f(x1,x2)?(x1?x2，x2en22T?2)；

x1?x2?T),求f?(x1,x2,x3)和f?(1,0,1).

3. 设D?R为开集，f,g:D?Rm均为可微函数.证明fTg也是可微函数，而且 (fTg)??fTg??gTf?. 4. 设函数f,g,h,s,t的定义如下：

f(x1?x2)?x1?x2,g(x)?(sinx,cosx)T,h(x1,x2)?(x1x2,x2?x1)T，

2 s(x1,x2)?(x1,2x2,x2?4)T,t(x1,x2,x3)?(x1x2x3,x1?x2?x3)T.

试依链式法则求下列复合函数的导数:

(1)(f?g)? (2) (g?f)? (3) (h?h)?; (4) (s?h)? (5) (t?s)? (6) (s?t)?. 5. 设u?f(x,y),v?g(x,y,u),w?H(x,u,v),应用链式法则计算w?(x,y).

m6. 设D?R为开域,f:D?R可微函数.利用定理19.14证明：

n（1） 若在D上f?(x)恒为0矩阵（零矩阵），则f(x)为常向量函数; （2） 若在D上f?(x)?c(常数阵)，则f(x)?cx?b,x?D,b?R.

nm7. 设f:R?R为可微函数，试求分别满足以下条件的函数f(x):

m (1) f?(x)?I(单位阵)；

(2) f?(x)?diag(?i(xi)),即以?1(x1),?2(x2),?,?n(xn)为主对角线元素的对角阵， x?(x1,?,xn)T.

8. 求下列函数f 的海赛矩阵，并根据例2的结果判断该函数的极值点： (1) f(x)?x1?2x1x2?2x2?x3?x2x3?x1?3x2?x3; (2) f(x)??x1?4x1x2?2x2?4x3?6x2x3?6x1x3.

2222229. 设f,g,h,s,t为第4题中的五个函数.

(1) 试问：除第4题6个小题中的两个函数的复合外，还有哪些两个函数可以进行

复合，并求这些复合函数的导数； (2) 求下列复合函数的导数： （i）(g?f?h)?; (ii)(s?t?s)?.

10. 设D?R为开集，f:D?Rm在x0?D可微.试证明：

（1） 任给??0,存在??0,当x?U(x0,?)时，有 f(x)?f(x0)?(f?(x0)??)x?x0.

(2) 存在??0,K?0,当x?U(x0,?)时,有f(x)?f(x0)?Kx?x0 （这称为在可微点领域内满足局部利普希兹条件.）

11. 设D?Rn是凸开集，且满足：对任何x?D和任何非零的 g:D?Rn的可微函数，

nh?Rn，恒有hTg?(x)h?0.时证明：g在D上是一一映射。

[提示：若g(x1)?g(x2),x1,x2?D;令h?x2?x1?0,f(x)?[g(x)?g(x1)]Th；对f应用中值定理。] 12.

?:R?R二阶可微，且有稳定点；f:Rn?R,f(x)??(a?x),a,x?Rn,a?0.

（1） 试求f的所有稳定点；

（2） 证明f的多有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处，f??(x)是退化矩阵（即在稳

定点处detf??(x)?0.）

P.194 欧拉积分 1. 设方程组

?3x?y?z?u2?0,? ?x?y?2z?u?0,

?2x?2y?3z?2u?0.?证明：除了不能把x,y,z用u唯一表出外，其它任何三个变量都能用第四个变量唯一表出. 2. 应用隐函数求导公式（4），求由方程组x?ucosv,y?usinv,z?v所确定的隐函数（其

中之一）z?z(x,y)的所有二阶偏导数. 3. 设方程组

??u?f(x?uv,y?uv,z?uv),

g(x,y,z)?0.?试问：（1）在什么条件下，能确定以x,y,v为自变量，u,z为因变量的隐函数组？

（2）能否确定以x,y,v为自变量，u,z为因变量的隐函数组；

（3）计算

?u?u?u,,. ?x?y?v4. 设f(x,y)?[excosy,exsiny]T.

(1) 证明:当(x,y)?R2时， detf?(x,y)?0,但在R2上f不是一一映射；(2) 证明:f在D?(x,y)0?y?2?上是一一映射，并求(f5. 利用反函数的微分公式,计算下列函数的反函数的偏导数: (1) (u,v)?(xcosT???1)?(0,e).

?x?x?y?y,,,. ?u?v?u?vyy,xsin)T; xx (2) (u,v)T?(ex?xsiny,ex?xcosy)T.

6. 设n?2,D?Rn为开集，?、?：D?R,f:D?R2且

f(x)?[?(x),?(x)?(x)]T,x?D.

证明:在满足f(x0)?0的点x0处，rankf?(x0)?2.但是由方程f(x)?0仍可能在点x0的领域内确定隐函数g:E?R,E?R7. 证明定理19.18的推论.

8. 设D,E?R都是开集，f:D?E与f可微,f?1n?12n?2.

:E?D互为反函数.证明:若f在x?D?1在y?f(x)?E可微,则f?(x)与(f)?(y)为互逆矩阵.(可望有一个比定理

19.18更为简单的证明.)

9. 对n次多项式进行因式分解：

Pn(x)?xn?an?1xn?1???a0?(x?r1)?(x?rn).

从某种意义上说，这也是一个反函数问题。因为多项式的每个系数都是它的n个根的已知函数，即

ai?ai(r1,?,rn),i?0,1,?,n?1. （３１）而我们感兴趣的是要求得用系数表示的根，即

rj?rj(a0,a1,?,an?1),j?1,2,?,n. （３２）