一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结

知识结构梳理

（1）含有 个未知数。 一 1、概念

（2）未知数的最高次数是 （3）是 方程。

（4）一元二次方程的一般形式是 。

（1） 法，适用于能化为x?m)2?n?n?0? 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，

? 二 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 次 方程元（3） 法

（4） 法，其中求根公式是 根的判别式

当 时，方程有两个不相等的实数根。

（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用

（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4）

知识点归类

知识点一 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是

1

（5） （6）

2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？

2?3；⑵x2?6x?0；⑴2（3）x?x?5；（4）?x2?0；（5）2x(x?3)?2x2?1

x?5知识点二 一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为ax2?bx?c?0（a，b，c是已知数，a?0）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如ax2?bx?c?0不一定是一元二次方程，当且仅当a?0时是一元二次方程。 例1 已知关于x的方程?m?1?x

知识点三 一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x?2时，x2?3x?2?0所以x?2是x2?3x?2?0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四 建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。 例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场 ， 鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成， 若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？

2

m2?2??m?1?x?2?0是一元二次方程时，则m?

鸡场

因式分解法、直接开平方法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为0；

（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 （3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程：

（1）5x2?4x； （2）(2x2?3)?25?0； （3）x2?6x?9??5?2x?。

2

知识点二 直接开平方法解一元二次方程

若x2?a?a?0?，则x叫做a的平方根，表示为x??a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）x2?a?a?0?的解是x??a；（2）?x?m??n?n?0?的解是x??n?m；

2（3）?mx?n??c?m?0,且c?0?的解是x?2?c?n。 m例 用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）9x2?16?0； （2）?x?5??16?0； （3）?x?5???3x?1?（因式分解）

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知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如?ax?b?2?k?0?k?0?的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）4?x?5?2?36?0； （2）?1?2x?2?3?0

知识点四 用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

t2?2t?0，将原方程变形为t?0.01t?2??0，由此可得出如：0.01t?0或0.0t?2?0，即t1?0,t2?200

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五 形如“x2??a?b?x?b?0?a,b为常数?”的方程的解法。

对于形如“x2??a?b?x?b?0?a,b为常数?”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为?x?a??x?b??0，则x?a?0或x?b?0，即

x1??a,x2??b。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“x2??a?b?x?b?0?a,b为常数?”型方程的特征。

例 解下列方程：（1）x2?5x?6?0； （2）x2?x?12?0

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