五年级寒假第3讲-应用题一（教师版） - 图文

第三讲 应用题一

一、植树问题

植树问题又称间隔问题，主要是研究间隔数（段数）、棵数、每段长度、路长之间的关系，从而解决诸如爬楼梯、锯木头等这一类实际问题．

1. 直线型植树问题分为以下三类：

1）两端植树：在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1，即：棵树=段数+1． 2）一端植树：在植树的线路两端都植树，则棵数等于段数，即：棵树=段数．

3）两端都不植树：在植树的线路两端都不植树，则棵树比段数少1，即：棵树=段数?1．

2. 封闭型植树问题：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，棵树等于段数，即：棵树=段数． 3. 基本关系：段数=总长 每段长度；总长=每段长度 段数．

二、方阵

行数和列数相等的正方形方队叫做方阵，例如学生排队，士兵列队时横排、竖排相等． 1. 实心方阵：总人（或物）数 = 最外层每边人（或物）数 最外层每边人（或物）数． 2. 实心方阵和空心方阵：

1）方阵无论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数少 ；

2）每层总数= [每边人（或物）数 ] ； 每边人（或物）数=每层总数 ． 3、空心方阵：总人（或物）数 = （最外层每边人（或物）数? 层数） 层数 ； 总人（或物）数 = （最外层人（或物）数 最内层人（或物）数） 层数

三、盈亏问题

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．

可以得出盈亏问题的基本关系式：

(盈?亏)?两次分得之差?人数或单位数 (盈?盈)?两次分得之差?人数或单位数 (亏?亏)?两次分得之差?人数或单位数

物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”．

注意：1．条件转换； 2．关系互换．

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四、年龄问题

计算有关年龄一类的问题叫做年龄问题，它一般以和差、和倍以及差倍应用题的形式出现． 年龄变化基本规律：1.两人年龄差不变

2.两人年龄倍数关系不是一成不变的，它会随时间改变 3.随着时间推移，两人年龄的增加量相等

注意：上面的规律适用于两个人之间的年龄关系，但若涉及到一人年龄与另几人年龄和之间的关系则

另当别论．

计算年龄问题的基本方法：几年后的年龄?大小年龄差?倍数差?小年龄

几年前的年龄?小年龄?大小年龄差?倍数差

五、鸡兔同笼

鸡兔同笼问题的基本公式： 1. 如果假设全是兔，那么则有

鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数?实际脚数)÷(每只兔子脚数?每只鸡的脚数) 兔数=鸡兔总数?鸡数

2. 如果假设全是鸡，那么则有

兔数=(实际脚数?每只鸡的脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数?每只鸡的脚数) 鸡数=鸡兔总数?兔数

六、平均数问题

1． 平均数问题是把若干个大小不等的数，在总量不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的

几份，求其中的一份是多少．

2． 平均数不是一个真实的数，它反映一组数据的总体情况，不能反映某一个具体的数据． 3． 解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数．

4． 平均数问题的数量关系式：“总数量?总份数?平均数”，“总数量?平均数?总份数”，“总份数?平均数

?总数量”

5． 平均速度?总路程?总时间

例题1

从甲地到乙地原来每隔45 米要装一根电线杆，加上两端的两根一共有53 根电线杆，现在改为每隔60 米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间还有几根不需移动？ 【分析】 （53?1）×45=2340m

45、60 的公倍数：180、360

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2340÷180=13

不需要移动的杆：13+1=14，除了两端的：14?2=12

例题2

【一】有一群学生排成三层空心方阵，多9 人，如空心部分增加两层，又少15 人，问有学生多少人？ 【分析】 增加的两层人数为：9 +15=24（人），这两层人数之差是8人，因此最里层有（24 ? 8）÷ 2 = 8（人），

现在的方阵共5层，那么最外层有8 + 8× 4=40（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是105 人．

【二】仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边16 人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多8人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心．求原 乙方阵每边的人数（指最外层一边人数）是多少？

【分析】 根据题意可知在乙方阵外再增加8 ÷ 2 = 4层的话乙方阵与丙方阵最外层人数相等，此时若将丙方

阵的空心填满，那么增加4 层后的乙方阵与填满空心的丙方阵总人数也相等，，由此可得：乙方阵总人数+ 新加4 层的人数= 丙方阵总人数+ 甲方阵总人数= 甲方阵总人数+ 乙方阵总人数+甲方阵总人数，可见乙方阵新加4 层所需人数等于甲方阵总人数的两倍．那么乙方阵新增加4 层所需人数为16×16× 2 = 512（人），那么原乙方阵最外层每边人数为512 ÷ 4 ÷ 4 + 4 ? 2× 4 = 28（人）

例题3

夏令营营员们到一招待所住宿．若每间宿舍住6人，那么就多14人；若每间宿舍住7人，那么就多1间宿舍．有多少个营员？有多少间宿舍？

【分析】 每间6 人多14 人每间7 人多1 间说明少7 人

(7+14)/(7?6)=21 间21*6+14=140 人

例题4

一人从家出发到会所参加会议，先用每分钟走50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他就要迟到8分钟；后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟．这个人从家到会所的距离是多少？ 【分析】 设从家到会所还有X 分钟开会

（X+8）*50=（X?7）*60+2*50 X=72 分钟50*（72+8）=4000 米

例题5

小飞家是个四口之家．今年爸爸妈妈和小飞的年龄和是125 岁，爷爷比小飞大57 岁，爸爸比妈妈大2 岁．5 年前这个家庭成员的年龄和为107 岁．这个家庭成员现在各几岁？ 【分析】 今年爸爸妈妈和小飞的年龄和是125 岁，5 年前年龄和是105岁，说明小飞现在3 岁，爷爷60 岁；

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爸爸妈妈的年龄和62 岁，爸爸比妈妈大2 岁；有和差问题得妈妈30 岁，爸爸32 岁．

例题6

箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2 只，每次从箱子里取出7 只白球、15 只红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53 只红球．那么箱子里原有红球多少只？

【分析】 假设每次一起取7 只白球和21 只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红

球数应该刚好是白球数的3倍多2 ．由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个．按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即3×3 + 2 =11(只)．但是实际上最后剩了53 只红球，比假设多剩42 只，因为每一次实际取得与假设相比少6 只，所以可以知道一共取了42 ÷ 6 = 7 (次)．所以可以知道原来有红球7×15 + 53 =158 (只)．

例题7

在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共22 道．选择题和填空题每题4 分，解答题每题10分．这次考试总分是100 分，其中选择题和解答题的分值比填空题多4 分，这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？

【分析】 选择题和填空题的分值一样，可以归为一类．如果这次考试的22 道题全是解答题，则总分应是：

22×10 = 220 (分)，但实际总分是100分，所以选择题和填空题共有：（220 ?100）÷（10 ? 4）= 20(道)，解答题有：22 ? 20 = 2 (道)．选择题比填空题少：2×10 ? 4 =16 (分)，选择题有：（100 ? 2×10 ?16）÷ 2 ÷ 4 = 8 (道)，填空题有：20 ? 8 =12 (道)．

例题8

某次数学竞赛原定一等奖10 人，二等奖20 人，现在将一等奖中最后4 人调整为二等奖，那么二等奖学生的平均分提高了1分，一等奖学生的平均分提高了3 分．那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

【分析】 （方法一）调整后得一等奖的有10 ? 4 = 6（人），平均分提高了3分，说明原来求一等奖的平均

分时，这6个人给所调整的4人一共添了6 × 3 = 18（分）；调整后得二等奖的平均分提高了1分，一共用了1× (20 + 4) = 24（分），说明计算新的平均分时所调整的4人一共拿出了24分平分给得二等奖的每个人；上面两部分合在一起，就可以求出原来一等奖的平均分比二等奖的平均分多的分数为[3× (10 ? 4) +1× (20 + 4)] ÷ 4 =10.5（分）．

（方法二）矩形图，其中横向代表获奖人数，纵向代表平均分．相比较前后两次，减少了矩形1， 增加了矩形2 和矩形3 ．前后两次总分不变，所以矩形的总面积不变．所以，矩形1的面积等于矩形2 和矩形3 的面积之和．这样可以求出原来一等奖的平均分和现在二等奖的平均分的差；从而就能求出原来一等奖的平均分和二等奖的平均分的差．原来一等奖平均分比二等奖平均分多 [3× (10 ? 4) +1× 20] ÷ 4 +1 =10.5（分）．

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