点差法习题(有答案)

点差法习题

【学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

使用说明及学法指导】

1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用； 2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、自主证明

x2y2?2?12P(x0,y0)是弦MN的中点，b1、定理 在椭圆a（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点

y0b2kMN???2kxa. 0弦MN所在的直线l的斜率为MN，则

x2y2?2?12P(x0,y0)是弦MN的中点，a同理可证，在椭圆b（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点

y0a2kMN???2kxb. 0弦MN所在的直线l的斜率为MN，则

x2y2?2?12b 2、定理 在双曲线a（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点

y0b2kMN??2P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则x0a.

y2x2?2?12P(x0,y0)是弦MNab同理可证，在双曲线（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点

y0a2kMN??2kx0b.

的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MN，则

2y?2mx(m?0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN3、定理 在抛物线

所在的直线l的斜率为

kMN，则kMN?y0?m.

y21OP?(OA?OB)x??124例1 设椭圆方程为，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，

?11??,?点N的坐标为?22?.当l绕点M旋转时，求：

2（1）动点P的轨迹方程； （2）|NP|的最大值和最小值.

x2C:y??13例2 已知双曲线，过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点.

2（1）求弦AB的中点M的轨迹；

（2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程.

2y?4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） 例3 抛物线

12y?x?222y?x?1y?2(x?1)y?2x?1 2A. B. C. D.

1. 已知椭圆x?2y?4，则以(1,1)为中点的弦的长度为（ ）

223036 A. 32 B. 23 C. 3 D. 2

2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0)，直线y?x?1与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为2?3，则此双曲线的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1??1??1??134435225A. B. C. D.

2x?y?2?0y?4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________. 3. 已知直线与抛物线

【规律总结】

2x?2my(m?0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦同理可证，在抛物线

1?x0?mkkMN所在的直线l的斜率为MN，则MN.

一、 以定点为中点的弦所在直线的方程

x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。 例1、过椭圆

164y22?1，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中例2、已知双曲线x?2点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。

二、

过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

1y2x2??1的一条弦的斜率为3，它与直线x?的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。 例3、已知椭圆

27525y2x25353??1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。x?y?0(??x?) 例4、已知椭圆

752522三、

求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y?3x?2截得的弦的中点的横坐标为四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

1，求椭圆的方程。 2x2y2??1，试确定的m取值范围，使得对于直线y?4x?m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对例6、已知椭圆43称。

答 案

例1. 解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)

? M(2,1)为AB的中点 ?x1?x2?4 y1?y2?2 ?又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2?16

两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0 于是(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0

22222222y1?y2x?x41??12????

x1?x24(y1?y2)4?2211即kAB??，故所求直线的方程为y?1??(x?2)，即x?2y?4?0。

22例2. 解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)

则x1?x2?2，y1?y2?2

?yy2x1?1?1，x2?2?1

22222两式相减，得

1y?y2(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0 ?kAB?1?2

2x1?x2故直线AB:y?1?2(x?1) ?y?1?2(x?1)?2由?2y2 消去y，得2x?4x?3?0

x??1?2?? ??(?4)2?4?2?3??8?0

这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。

例3. 解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x0?1 2x1?x2?2x0?1 ， y1?y2?2y0

yxyx又 1?1?1，2?2?1

75257525两式相减得25(y1?y2)(y1?y2)?75(x1?x2)(x1?x2)?0

y?y23即2y0(y1?y2)?3(x1?x2)?0 ?1 ??x1?x22y0y?y213?3，即y0?? ?3 ? ?? k?122y0x1?x211?点M的坐标为(,?)。

22例4. 解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则

x1?x2?2x， y1?y2?2y

yxyx又 1?1?1，2?2?1

75257525两式相减得25(y1?y2)(y1?y2)?75(x1?x2)(x1?x2)?0

y?y23x即y(y1?y2)?3x(x1?x2)?0，即1??

x1?x2y22222222? k?y1?y2x?3 ??3x?3，即x?y?0 1?x2y?x?y?0由??y253,53)Q(53,?53) ??75?x225?1，得P(?2222?点M在椭圆内

?它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为

例5.解：设椭圆的方程为y2x2ab1，则a2?b22?2??50┅┅①

设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则

x?1102，y0?3x0?2??2 ?x1?x2?2x0?1，y1?y2?2y0??1

2222又y1x1y2x2a2?b2?1，a2?b2?1 两式相减得b2(y1?y2)(y1?y2)?a2(x1?x2)(x1?x2)?0 即?b2(y1?y2)?a2(x1?x2)?0

?

y22ax?2 ? a21?y2?3┅┅② 1?x2bb联立①②解得a2?75，b2?25

?所求椭圆的方程是y2x275?25?1 例6.解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y?4x?m的对称两点，3x22221?4y1?12，3x2?4y2?12

两式相减得，3(x22221?x2)?4(y1?y2)?0 即3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0

?xy1?y21?x2?2x，y1?y2?2y，

x?x??1

124?y?3x 这就是弦P1P2中点P轨迹方程。 它与直线y?4x?m的交点必须在椭圆内

联立??y?3x?x??m232x?m，得?y?4? 则必须满足?y??3my?3?4x，

即(3m)2?3?322132134m，解得?13?m?13

P(x,y)为弦P1P2的中点，则