例说类比推理及其应用 2

相类比，利用“积变差”的性质，设法把和式?sinkx中的每一项也拆成两项之差，使所有中间项

k?1n恰好相消，从而求出结果.

设

S??sinkx，两边同乘以2sinx得

k?1n2

nxx2S?sin?2?sinkx?sink?122n

??(cosk?12k?12k?1x?cosx) 22

x2n?1?cos?cosx

22?2sinnxn?1?sinx 22 即

sin S?nxn?1?sinx22

xsin2从而讨论和求导就可得出下列结论 （1）当x?2k?时，原式?（2） 当x?2k?时，原式?n(n?1) 2(n?1)cosnx?ncos(n?1)x?1

x4sin22

通过上述例子，我们更加深刻的了解类比推理的应用，无论是哪个方面的应用，关键之处在于找到一个合适的类比对象.当然，类比作为一种普遍的推理方法，其使用范围并不限于数学领域，如潜水艇的设计思想来自鱼类在水中浮沉的生物机制的类比，即所谓的近代仿生学.又如蜜蜂的太阳偏光定向功能，启发人们制造了航海偏光天文罗盘.这都是近代仿生学的成果，也都是类比推理的应用.即使是数学问题，我们也同样可到数学领域外寻找类比对象.如抽屉原则的建立，就是把日常生活中在几个抽屉内存放物件的现象与数学问题相类比的结果.

此外类比推理在数学教学中的作用也是不可忽视的.类比可以十分有效的地使学生接受新知识，

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同时类比又是帮助学生梳理与巩固旧知识的常用方法.同时也是发现数学概念、数学定理和公式等的重要手段.

3 类比推理的分类

类比思维的认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系——相似性.而相似的含义非常广泛.所以类比方法的表现形式也就丰富多样.

3.1 简单共存类比

简单共存类比是根据对象的属性之间具有简单共存关系而进行的推理.其推理模式为： 因A具有属性a,b,c,d B具有属性a',b',c'

则B可能具有属性d'（d'与d相同或相似）

例4 设非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2),则由平面向量数量积公式可得|a?b|?|a|?|b|，即有不等式：

??????(x1x2?y1y2)?(x12?y1)(x22?y2)

将平面向量类比到空间向量，设非零向量a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，则也有不等式：

??222(x1x2?y1y2?z1z2)?(x12?y1?z12)(x22?y2?z12)成立.

2223.2 因果类比

因果类比是根据对象的属性间可能有同一种因果关系而进行的推理.其推理模式为: 因A中属性a,b,c与d有因果关系

B中属性a',b',c'与a,b,c相同或相似

则B可能具有属性d'（d'与d相同或相似）

例5 三角形中三条中线交于一点，且交点分每条中线为2:1，在四面体中，类比出成立的结论：四条中线（顶点到对面重心的连线）交于一点且交点分每条中线为3:1.

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3.3 对称类比

对称类比是根据两个对象属性之间具有对称性而进行的推理. 例6 设函数f(x)?13?3x，求f(?5)?f(?4)???f(0)???f(5)?f(6)的值.

分析 观察式子f(?5)?f(?4)???f(0)???f(5)?f(6)，所要求的和前后x的值都有

'x?1?x，从而是否可类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法来求值.尝试着计算

f(x)?f(1?x):

1 ∵f(x)?13x?3,f(1?x)?131?x?31??13x3?3?3x?3x??3, x3?3?3x

∴f(x)?f(1?x)?33?3x3, 3 从而f(x)?f(1?x)正好是一个定值，

∴2S?

3?12， ∴S?43. 33.4 协变类比

协变类比是根据对象属性之间具有某种确定的协变关系（即函数变化关系）而进行的推理. 协变类比的推理模式有两种：

（1）两对象有若干属性相似，且在两者的数学方程式相似的情况下，推出它们的其他属性也可能相似.

因A具有属性a,b,c且对A有f(x)?0 B具有属性a',b'，且对B有f(x')?0

则B可能具有属性c'（因为f(x')?0与f(x)?0相似）

（2）两对象的各种属性在协变关系中的地位与作用相似，推出它们的数学方程式也可能相似. 因A具有属性a,b,c且对A有f(x)?0

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B具有属性a',b',c'

则B可能具有属性f(x')?0（因为a,b,c与a',b',c'相似）

例7 设a,b,c,x,y,z都是正实数，且满足条件

a?b?c?abc （1）

xy12(1?a2) ?? （2） ?yxxy1?a2yz12(1?b2) ?? （3） ?2zyyz1?b

zx12(1?c2)? ?? （4）

xzzx1?c2求x?y?z的最小值.

分析 这个问题的条件很复杂，但从条件（1）的结构形式可类比到三角形内角正切的恒等式

[1]

tanA?tanB?tanB?tanAtanBtanC

从而可令

a?tanA,b?tanB,c?tanC

因a,b,c，都是正数，故A,B,C都是锐角，且A?B?C??,从而有

2(1?a2)2(1?b2)2(1?c2)?2cos2A，?2cos2B，?2cos2C

1?a21?b21?c2且 2A?2B?2C?2? 于是（2）（3）（4）可化为

?x2?y2?2xycos2A?1?22 ?y?z?2zycos2B?1 （5）

?x2?2?2xzcos2C?1z?由（5）的结构形式可类比到几何中一个相似的问题，在边长为1的正三角形中，求到三顶点距离之和最小的点及最小值.这个问题的结论是：到边长为1的正三角形三个顶点距离之和最小点是它的重心，其最小值为3.这个结论只是猜想，但是我们运用的类比推理是协变类比推理，因为正实数与两点间的距离是一一对应的关系，这种对应在数学上称为同构对应，具有同构对应的两个类比对象，

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