2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1讲函数及其表示学案

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1

讲函数及其表示学案

板块一 知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 函数与映射的概念

考点2 函数的三要素

函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中

(1)定义域：自变量x的取值构成的集合； (2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．

考点3 函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．

考点4 分段函数

若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表

示，这种函数称为分段函数．

[必会结论]

1．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象

至多有1个交点．

2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域

的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( ) (2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．[课本改编]下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )

2019年

B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x

A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1

答案 C

解析 只有C不满足，∵f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2x＋2，∴f(2x)≠2f(x)．

3．[2018·唐山统考]函数y＝＋的定义域为( )

B．[1,3] D．[3，＋∞)

A．[0,3] C．[1，＋∞)

答案 B

解析 由x(3－x)≥0得0≤x≤3，由x－1≥0得x≥1，所以定义域为[1,3]．选

B.

4．[2018·江西模拟]已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝

1，则a＝( )

B．2 D．－1

A．1 C．3 答案 A

解析 ∵f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴a＝1.选A.

5．[2017·天津六校联考]已知函数f(x)＝则f(0)＋f(log232)＝( )

D．13 B．17 C．15

A．19 答案 A

解析 f(0)＋f(log232)＝f(0)＋f(5)＝log2(4－0)＋1＋25－1＝2＋1＋16＝

19.故选A.

6．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为

________．

答案 [－1,2]

解析 ∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，

∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]， ∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．

板块二 典例探究·考向突破 考向 求函数的定义域

例1 (1)[2018·辽宁模拟]函数f(x)＝的定义域为( )

2019年

B．[1,2)∪(2,10] D．(1,2)∪(2,10]

A．[1,10] C．(1,10] 答案 D

解析 要使函数f(x)有意义，

－1≤x≤10，??

则x需满足即?x>1，

??x≠2，

所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]．故选D.

(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )

? B.??－1，－2? ??

? D.??2，1? ??

11

A．(－1,1) C．(－1,0)

答案 B

解析 由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－

1<2x＋1<0，解得－1

本例(2)中条件不变，求函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(3x＋1)

的定义域．

解 函数f(3x＋1)有意义，需－1<3x＋1<0，解得－

解得－1

若本例(2)中条件变为：“函数f(x－1)的定义域为(－

1,0)”，则结果如何？

解 因为f(x－1)的定义域为(－1,0)，即－1

的定义域为(－2，－1)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－2<2x＋1<－1，

解得－

触类旁通

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义

域由a≤g(x)≤b求出．

2019年

②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]

上的值域．

【变式训练1】 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2018]，则函数g(x)＝的定义

域是( )

B．[－1,1)∪(1,2017] D．[－1,1)∪(1,2018]

A．[－1,2017] C．[0,2018]

答案 B

解析 由0≤x＋1≤2018，得－1≤x≤2017，又∵x≠1，∴B正确．

(2)[2018·安徽模拟]函数y＝ln ＋的定义域为________．

答案 (0,1]

x＋1??>0，

x 解析 要使函数有意义，需即???x2≤1，

即解得0

考向 求函数的解析式

例 2 (1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________.

答案 x2－5x＋9(x∈R)

解析 解法一：(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，

所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

解法二：(配凑法)因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2

－5(2x＋1)＋9，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

解法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

(2)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________.

答案 2x－－(x≠0)

解析 已知2f(x)＋f＝3x－1，①

以代替①式中的x(x≠0)，得

2f＋f(x)＝－1，②