浙江杭州二中高三3月月考数学试题含解析

111111－

T2n＋?·<1等价为?n2＋1－n＋n?·n<1，即(n2＋1)·n<1，即n2是2的等比数列，bn＝2×2n1＝2n，则?bn?bn22?2??2＋1<2n，分析函数y＝n2＋1与y＝2n，则当n＝1时，2＝2，当n＝2时，5<4不成立，当n＝3时，10<8不11

T2n＋?·成立，当n＝4时，17<16不成立，当n＝5时，26<32成立，当n≥5时，n2＋1<2n恒成立，故使不等式?bn?bn?<1成立的最小整数n为5.

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11． 答案 3 －27

11

3x＋?n中所有项的系数之和，则在?3x＋?n中令x＝1，得(3＋1)n解析 所求系数的绝对值之和相当于?x?x???1－1?k

k3－kkx3－k?3x－?3的通项为Tk＋1＝Ck＝64，所以n＝3；?＝C3·(－1)3(3x)3·x???x?

21

常数项为C13×3×(－1)＝－27.

3?3k2，令

3－3k

＝0，则k＝1，2

12．答案 (2，＋∞) 4

x≥1，??

解析 要使不等式组?x－2y＋1≤0，

??x＋y≤m

所表示的平面区域形状为三角形，直线x＝1与直线x－2y＋1＝0的

交点(1,1)必在直线的左下方，所以m>2，画出该区域如图阴影部分所示(含边界)，

由z＝2x－y得y＝2x－z，由图可知，当直线y＝2x－z过点A(1，m－1)时在y轴上的截距最大，z最小，所以，－1＝2×1－(m－1)，解得m＝4. 13． 答案 1 3＋5

解析 如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a的正方形，平面SAB⊥平面ABCD，12

并且∠SAB＝90°，SA＝2，所以体积是V＝×a2×2＝，解得a＝1，四个侧面都是直角三

331111

角形，所以计算出表面积是S＝12＋×1×2＋×1×5＋×1×2＋×1×5＝3＋5.

2222

3333

或 42

14．答案 1或2

解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即7＝b2＋9－2b×3cos 60°，即b2－3b＋2＝0，解得b＝1或2, 113333当b＝1时， S＝bcsin A＝×1×3×sin 60°＝，同理当b＝2时， S＝. 224215. 答案 312

解析 根据题意，分3种情况讨论：

3＝4，即有4种取法； ①取出的3个点都在圆内，C4

1②在圆内取2点，圆外12点中有10个点可供选择，从中取1点，C24C10＝60，即有60种取法；

2

③在圆内取1点，圆外12点中取2点，C14(C12－4)＝248，即有248种取法．

则至少有一个顶点在圆内的三角形有4＋60＋248＝312(个)． 16．答案 3

解析 因为x?y?1表示圆x?y?1及其内部，易得直线6?x?3y?0与圆相离，所以

22226?x?3y?6?x?3y，当2x?y?2?0时，

2x?y?2?6?x?3y?x?2y?4，如图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z?x?2y?4，则可

知当x?34,y?时， zmin?3；当2x?y?2?0时， 2x?y?2?6?x?3y?8?3x?4y， 5534,y?时， zmin?3， 55如图所示，可行域为大的弓形内部，目标函数z?8?3x?4y，则可知当x?综上所述， 2x?y?2?6?x?3y的最小值是3． 17． 答案 9

31→→→→32→

解析 由3λ＋4μ＝2，得λ＋2μ＝1，所以CP＝λCA＋μCB＝λ·CA＋2μ·CB.

22322→→1→→

设CA＝CM，CB＝CN， 32

→→→则由平面向量基本定理知点P，M，N在同一直线上，又|PA|＝|PB|＝|PC|， 所以P为△ABC的外心，且∠ACB为锐角，PN⊥BC，由此可作图，如图所示，

x3x

设∠ACB＝θ，CN＝x，则BC＝2x，CM＝，CA＝，

cos θ2cos θ113x3tan θ2

所以S△ABC＝AC·BCsin θ＝··2x·sin θ＝x，

222cos θ2在△ABC

中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos θ，即

4x2＋

9x23x

－2·2x··cos θ＝9， 2

4cosθ2cos θ

所以x2＝

36cos2θ3tan θ36cos2θ54sin θcos θ54tan θ54

，所以S＝·＝＝＝≤9. △ABC

29－8cos2θ9sin2θ＋cos2θ9tan2θ＋119－8cos2θ

9tan θ＋

tan θ

11

当且仅当9tan θ＝，即tan θ＝时等号成立，所以△ABC面积的最大值是9.

tan θ3三、解答题(本大题共5小题，共74分．) 18．

19． 解 (1)因为AE⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以AE⊥BC， 因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC，

又BA∩AE＝A，BA，AE?平面ABE，所以BC⊥平面AEB， 因为F，H分别为BP，PC的中点，所以FH为△PBC的中位线，

所以FH∥BC，所以FH⊥平面ABE， 又FH?平面GHF，所以平面ABE⊥平面GHF.

(2)解 方法一 因为AE⊥平面ABCD，PD∥AE，所以PD⊥平面ABCD， 又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥BC， 又PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD，所以BC⊥平面PCD， 又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.

连接DH，则DH⊥PC，因为平面PBC∩平面PCD＝PC，所以DH⊥平面PBC， π

所以∠DHG为直线GH与平面PBC所成角的余角，即θ＝－∠DHG.

2

PD·DC

在等腰直角三角形PDC中，因为PD＝DC＝2，所以PC＝22，所以DH＝＝2.

PC

1?221

22＋12＋?＝，GH＝?2?2

1?217

22＋?＝， ?2?2

连接DG，易知DG＝

DH2＋HG2－DG234

所以在△DHG中，cos∠DHG＝＝，

2DH·GH34

π3434

－∠DHG?＝cos∠DHG＝所以sin θ＝sin?，即直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值为. ?2?3434方法二 易知DA，DC，DP两两垂直，所以以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由PD＝AD＝2EA＝2，易得B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，11→→→

2，1，?，则CP＝(0，－2,2)，CB＝(2,0,0)，HG＝?2，0，－?. H(0,1,1)，G?2?2???设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

→???CB＝?x，y，z?·?2，0，0?＝0，?n·?2x＝0，?x＝0，

?则?则则? ??→－2y＋2z＝0，y＝z.???CP＝?x，y，z?·?0，－2，2?＝0，?n·

令y＝1，则z＝1，所以n＝(0,1,1)为平面PBC的一个法向量，

→|n·HG|

02＋12＋12×

1

－?222＋02＋??2?

1

22×

172

→

所以sin θ＝|cos〈n，HG〉|＝

＝＝

34， 34