2021届高考复习基础讲义 第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一) 文

第十三节 导数在研究函数

中的应用?一?

1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．

2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．

知识梳理

一、函数的导数与函数的单调性的关系 1．函数单调性的充分条件．

设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内y′<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________．

2．函数单调性的必要条件．

设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果函数y＝f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内________；如果函数y＝f(x)在这个区间内为________，那么在这个区间内________．

3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法． (1)确定函数f(x)的定义域．

(2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根． (3)把函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义的点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f(x)的定义域分成若干个小区间．

(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性[若f′(x)>0，则f(x)在相应区间内为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在相应区间内为减函数]．

二、函数的极值 1．函数极值的定义．

一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是____________，记作____________，x0是________．

如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是______________，记作______________，x0是极小值点．极大值与极小值统称为________．

2.判别f(x0)是极大值、极小值的方法．

若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，那么x0是f(x)的________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0两侧满足“________”，那么x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．

3．求可导函数f(x)的极值的步骤．

(1)确定函数的定义区间，求导数________． (2)求方程________的根．

(3)用函数的导数为0的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成________，并列成表格．检查f′(x)在________________，如果________，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果________，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右______，那么f(x)在这个根处______．

三、函数的最大值与最小值 1．函数的最大值与最小值．

在闭区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上________最大值与最小值． 2．利用导数求函数的最值的步骤．

设函数f(x)在(a，b)内可导，在闭区间[a，b]上图象连续不断，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求f(x)在(a，b)内的________；

(2)将f(x)的各________与________比较，得出函数f(x)在[a，b]上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

一、1.增函数 减函数 2.y′≥0 减函数 y′≤0 3．(2)f′(x) f′(x)＝0 二、1.函数f(x)的一个极大值 y＝f(x0) 极值

极大值

＝f(x0) 极大值点 函数f(x)的一个极小值 y

极小值

2．极大值点 极大值 左负右正

3．(1)f′(x) (2)f′(x)＝0 (3)若干小开区间 方程根左右的值的符号 左正右负 左负右正 不改变符号 无极值

三、1.必有 2.(1)极值 (2)极值 f(a)，f(b)

基础自测

1．函数y＝xsin x＋cos x在(π，3π)内的单调增区间为( ) 3π3π5ππ，? B.?，? A.?2???22?5π

，3π? C.??2?

解析：∵y＝xsin x＋cos x，∴y′＝xcos x.

当x∈(π，3π)时，要使y′＝xcos x＞0，只要cos x＞0，结合选项知，只有B满足． 答案：B

2. (2013·四川南充二模)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )

D．(π，2π)

解析：因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，所以，当x＜－2时，f′(x)＜0，所以xf′(x)

＞0；当－2＜x＜0，f′(x)＞0，所以xf′(x)＜0.故选C.

答案：C

1

3．(2012·哈尔滨三中月考)函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a

3的取值范围是________．

11

解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax－5，∴f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1.如果函数f(x)＝x3

33

??f′?－1?≤0，2

－x＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或?解得a≥1或a≤－3.于

?f′?2?≤0，?

是满足条件的a∈(－3,1)．

答案：(－3,1)

4．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝______处取得极小值．

答案：2

1．(2012·陕西卷)设函数f(x)＝xex，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点

解析：f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，x<－1时，f′(x)<0，f(x)＝xex为减函数；x>－1时，f′(x)>0，f(x)＝xex为增函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．故选D.

答案：D

2．(2013·北京卷)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.

(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

解析：(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x， 得f′(x)＝x(2＋cos x)，

因为y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切． 所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)， 则a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f′(x)＝0，得x＝0.

所以当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增． 当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减． 所以f(x)的最小值为f(0)＝1.

由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，

所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．