江苏省泰州中学2017届高三（上）摸底数学试卷（解析版）

即

若数列{bn}为等比数列， 则有而

，

，

，

故[a3（2t+1）]2=（2a2）?a4（2t2+t+1）， 解得再将

， 代入bn，得

，

由

，知{bn}为等比数列，

∴t=． （3）由∴

，知

，

，

∴，

由不等式恒成立，

得恒成立，

设，由，

∴当n≤4时，dn+1＞dn，当n≥4时，dn+1＜dn， 而∴d4＜d5， ∴∴

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，

， ．

20．已知函数f（x）=（e为自然数的底数）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数x使得f（1﹣x）=f（1+x），若存在求出x，否则说明理由； （3）若存在不等实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），证明：f（

）＜0．

【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式从而求出函数的单调区间； （2）通过讨论x的范围，假设存在x使得f（1﹣x）=f（1+x），当x=1时不成立，当x≠1时化简整理得e2x=

，进一步说明x＞1，0＜x＜1，﹣1＜x＜0，x＜﹣1时不成立；

（3）由于存在不等实数x1、x2，使得f（x1）=f（x2），即x1﹣lnx1=x2﹣lnx2，令g（x）=x﹣lnx，g（x1）=g（x2），

不妨设0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，g（2﹣x1）﹣g（x2）=g（2﹣x1）﹣g（x1），化简整理，设F（t）=

﹣lnt，求出导数，判断单调性，得到x1+x2＞2，即可得证

=

，

【解答】解：（1）f′（x）=

令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1， ∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减； （2）①若存在正实数x，使得f（1﹣x）=f（1+x）， 即有

=

．

当x=1时等式左边等于0，右边大于0，等式不成立； 当x≠1时整理得e2x=

，

当x＞1时，等式左边大于0，右边小于0，等式不成立， 当0＜x＜1时，有e2x＜

，

故不存在正实数x，使得f（1﹣x）=f（1+x）；

②同理可证不存在负实数x，使得f（1﹣x）=f（1+x）； ③x=0时，显然满足条件，

综上x=0时，存在实数x使得f（1﹣x）=f（1+x）； （3）证明：由于存在不等实数x1、x2，使得f（x1）=f（x2）， 即为

=

，即

=ex1﹣x2，

即有x1﹣x2=lnx1﹣lnx2， 即x1﹣lnx1=x2﹣lnx2，

令g（x）=x﹣lnx，g′（x）=1﹣， g（x1）=g（x2），

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不妨设0＜x1＜1＜x2， 则2﹣x1＞1，

而g（2﹣x1）﹣g（x2） =g（2﹣x1）﹣g（x1）

=（2﹣x1）﹣ln（2﹣x1）﹣x1+lnx1 =2﹣2x1﹣ln

，

令

=t，则t＞1，x1=

﹣lnt，

，

故F（t）=

故F′（t）=＜0，

故F（t）在（1，+∞）上是减函数， 故F（t）＜F（1）=0，

故g（2﹣x1）﹣g（x2）＜0，

又∵g（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴2﹣x1＜x2， 故x1+x2＞2，即

＞1，

则有f′（）=＜0，

故f′（

）＜0

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2016年10月14日

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