当前位置:首页 > 江苏省泰州中学2017届高三(上)摸底数学试卷(解析版)
13.已知实数x、y满足
,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a
的最小值是 .
【考点】简单线性规划;函数恒成立问题.
【分析】确定约束条件的平面区域,求得与原点连线的斜率的范围,再分离参数,利用函数的单调性,确定函数的最值,即可得到结论.
【解答】解:实数x、y满足的可行域是一个三角形,三角形的三个顶点分别
为(1,4),(2,4),
与原点连线的斜率分别为4,2,∴a(x2+y2)≥(x+y)2等价于a≥1+
∵∈[2,4] ∴≤+≤4+=∴a≥1+= ∴实数a的最小值是 故答案为:
14.设等比数列{an}满足公比q∈N*,an∈N*,且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项,若a1=281,则q的所有可能取值的集合为 . 【考点】等比数列的通项公式.
【分析】依题意可求得该等比数列的通项公式an,设该数列中的任意两项为am,at,它们的积为ap,求得q=
,分析即可.
【解答】解:由题意,an=281qn﹣1,设该数列中的任意两项为am,at,它们的积为ap, 则为am?at=ap,即281qm﹣1?281qt﹣1=281?qp﹣1,(q,m,t,p∈N*), ∴q=
,
故p﹣m﹣t+1必是81的正约数,
即p﹣m﹣t+1的可能取值为1,3,9,27,81, 即
的可能取值为1,3,9,27,81,
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所以q的所有可能取值的集合为{281,227,29,23,2}
二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知0<α<
<β<π且sin(α+β)=
,tan
=.
(1)求cosα的值; (2)证明:sinβ
.
【考点】两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;半角的三角函数. 【分析】(1)利用二倍角的正切公式可求得tanα,结合0<α<
即可求得cosα的值;
(2)由于β=(α+β)﹣α,利用两角差的正弦结合已知即可求得sinβ的值,从而使结论得证.
【解答】解:(1)将tan=代入tanα=得:tanα=
所以,又α∈(0,),
解得cosα=. (2)证明:∵0<α<∴
<α+β<
<β<π,
,
,又sin(α+β)=
,
所以cos(α+β)=﹣由(1)可得sinα=,
所以sinβ=sin[(α+β)﹣α]=×﹣(﹣)×=>.
16.如图,正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD,AE⊥平面CDE,且AB=2AE.
(1)求证:AB∥平面CDE;
(2)求证:平面ABCD⊥平面ADE.
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【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)根据正方形对边平行可得AB∥CD,结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE;
(2)由已知AE⊥平面CDE,可得AE⊥CD,结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE,进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE 【解答】证明:(1)正方形ABCD中,AB∥CD, 又AB?平面CDE, CD?平面CDE,
所以AB∥平面CDE.
(2)因为AE⊥平面CDE, 且CD?平面CDE, 所以AE⊥CD,
又正方形ABCD中,CD⊥AD
且AE∩AD=A,AE,AD?平面ADE, 所以CD⊥平面ADE, 又CD?平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面ADE.
17.某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这
个产品期间第x个月的利润(单位:万元),为了获
得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第x个月的当月利润率
,例如:
.
(1)求g(10);
(2)求第x个月的当月利润率g(x);
(3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率. 【考点】分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 【分析】(1)当1≤x≤20时,f(x)=1,易知f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=f(10)=1,从而知
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(2)求第x个月的当月利润率,要考虑1≤x≤20,21≤x≤60时f(x)的值,代入
即可.
(3)求那个月的当月利润率最大时,由(2)得出的分段函数,利用函数的单调性,基本不等式可得,解答如下: 【解答】解:(1)由题意得:f(1)=f(2)=f(3)=…═f(9)=f(10)=1 g(x)=
=
=
.
(2)当1≤x≤20时,f(1)=f(2)═f(x﹣1)=f(x)=1 ∴g(x)=当21≤x≤60时, g(x)=
=
=
=
.
=
=
=
=
∴当第x个月的当月利润率
;
(3)当1≤x≤20时,此时g(x)的最大值为当21≤x≤60时,
是减函数,
当且仅当时,即x=40时,
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