2017-2018学年高中数学选修4-4教学案（打包14份） 人教课标版12（实用教案）

[对应学生用书]

()建立直角坐标系，设曲线上任一点坐标为(，)； ()选取适当的参数；

()根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点坐标与参数的函数式； ()证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．

[例]过点(－)作直线与圆＋＝交于，两点，设，的中点为，求的轨迹的参数方程．

[解]设(，)，(，)，(，)，直线的方程为＝－. 由(\\\\(＝－，＋＝))消去得(＋)－＋＝. ∴＋＝，即＝， ＝－＝－＝. 由Δ＝()－(＋)>得>.

∴的轨迹的参数方程为(\\\\(＝(－＋)，＝(＋)，))

在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意，的取值范围在消参前后应该是一致的．也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．

[例] 参数方程(\\\\(＝(－＋)，＝(＋)))为( )

．＋＝

化为普通方程

曲线的参数方程与普通方程的互化 >.

参数方程的求法 ．＋＝去掉()点 ．＋＝去掉()点 ．＋＝去掉(－)点 [解析]＋＝＋＝， 又∵＝＝－＋≠－，故选. [答案] [

例

]

已

知

参

数

方≠.

程

(\\\\(＝?＋()?θ， ①＝?－()?θ， ②))

()若为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？ ()若θ为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ [解]()当≠±时，由①得 θ＝， 由②得 θ＝. ∴＋＝.

它表示中心在原点，长轴长为＋，短轴长为 －，焦点在轴上的椭圆． 当＝±时，＝，＝± θ，∈[－]． 它表示在轴上[－]的一段线段． ()当θ≠(∈)时，由①得θ)＝＋. 由②得θ)＝－.

平方相减得－＝，即－＝.

它表示中心在原点，实轴长为 θ，虚轴长为 θ，焦点在轴上的双曲线． 当θ＝π(∈)时，＝，它表示轴； 当θ＝π＋(∈)时，＝，＝±. ∵＋≥(＞时)或＋≤－(＜时)，

∴≥.∴方程为＝(≥)．它表示轴上以(－)和()为端点的向左、向右的两条射线.

直线与圆的参数方程 求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．

[例]设曲线的参数方程为(\\\\(＝＋ θ，＝－＋ θ))

(θ为参数)，直线的方程为－＋＝，则曲线上到直线距离为的点的个数为( )

． ． ． ．

[解析]曲线的标准方程为(－)＋(＋)＝. 它表示以(，－)为圆心，为半径的圆． 因为圆心(，－)到直线－＋＝的距离＝＝，

且－<，故过圆心且与平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点． [答案] [

例

]

直

线

＝

＋

与

圆

心

为

的

圆

(\\\\(＝()＋() θ，＝＋() θ，))

点，则直线与的倾斜角之和为( )

[解析]由已知得圆：(－)＋(－)＝， 则圆心到直线＝＋的距离等于 ＝， 故∠＝＝， ∠＝，∠＝. 又＝，所以有∠＝.

≤θ≤π交于，两

而直线＝＋的倾斜角是，因此结合图形可知，在直线，中必有一条直线的倾斜角等于＋，另一条直线的倾斜角等于＋＋.

因此，的倾斜角之和为＋＝. [答案]

[例] 设直线的参数方程为(\\\\(＝＋ α，＝＋ α))(为参数，α为倾斜角)，圆的参数方程为(\\\\(＝＋ θ，＝－＋ θ))(≤θ≤π)．

()若直线经过圆的圆心，求直线的斜率；

()若直线与圆交于两个不同的点，求直线的斜率的取值范围． [解]()由已知得直线经过的定点是()，而圆的圆心是(，－)， 所以，当直线经过圆的圆心时，直线的斜率为＝. ()法一：由圆的参数方程(\\\\(＝＋ θ，＝－＋ θ)) 得圆的圆心是(，－)，半径为.

由直线的参数方程为(\\\\(＝＋ α，＝＋ α))(为参数，α为倾斜角)，知直线的普通方程为－＝(－)(斜率存在)，

即－＋－＝.

当直线与圆交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即<，由此解得>.

即直线的斜率的取值范围为.

法二：将圆的参数方程为(\\\\(＝＋ θ，＝－＋ θ，)) 化成普通方程为(－)＋(＋)＝，① 将直线的参数方程代入①式，得 ＋( α＋ α)＋＝.②

当直线与圆交于两个不同的点时， 方程②有两个不相等的实数解， 即Δ＝( α＋ α)－>， 即 αα>α，两边同除以α， 由此解得 α>，

即直线的斜率的取值范围为. [例]直线(\\\\(＝－＋()，＝(())))

与圆＋＝(>)相交于，两点，设(－)，且∶＝∶，求实数的值．

[解]法一：直线参数方程可化为＝(＋)． 联立方程(\\\\(＝()?＋?，＋＝.))消去，得＋＋－＝. 设(，)，(，)(不妨设<)，则 Δ＝－(－)>，① ＋＝－，②