2019-2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷(文科)(有答案)

...

（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：利用三角形面积计算公式即可得出．

（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出． 【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：

，得OB=10（cosθ+sinθ）． ，得OB=10（cosθ+sinθ）．再

所以，S=∪

．

=100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈

（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ） =50（sin2θ﹣cos2θ+1）=所以S的最大值为：50

21．已知函数

，其中a∈R．

+50，θ=

．

，

（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；

（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值． 【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．

（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可． 【解答】解：（1）当a=﹣时，

，定义域为R，

=

=

=

=f（x），

...

...

∴函数f（x）是偶函数．

（2）∵函数f（x）与f﹣1（x）单调性相同， ∴当a＞0时，函数f（x）为增函数，

则y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上为增函数，

则函数的最小值为当x=1时，y=f（1）+f﹣1（1）=1+log23， 即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，则f﹣1（1）=1﹣a， 即f（1﹣a）=1，

则a（1﹣a）+log2（21﹣a+1）=1， 得a=1，

此时f（x）=x+log2（2x+1）在[1，2]上是增函数， 则函数的最大值为f（2）=2+log2（22+1）=2+log25．

22．已知数列{an}和{bn}满足：a1=2，

．

（1）求证：数列

为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

，且对一切n∈N*，均有

（2）求数列{bn}的前n项和Sn； （3）设Tn．

【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）数列{an}满足：a1=2，数列的通项公式即可得出．

（2）数列{bn}满足：对一切n∈N*，均有用等比数列的前n项和公式可得Sn． （3）由cn=

﹣

=

﹣

．利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得数列

．可得b1=2．当n≥2时，bn=

=2n．利

，变形为

﹣

=1，利用等差

，记数列{cn}的前n项和为Tn，求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Tk≥

{cn}的前n项和为Tn．再利用其单调性即可得出． 【解答】（1）证明：数列{an}满足：a1=2，∴

﹣

=1，

...

，

...

∴数列为等差数列，公差为1，首项为2．

∴

=2+（n﹣1）=n+1，∴an=n（n+1）．

．

（2）解：数列{bn}满足：对一切n∈N*，均有∴b1=

=2．

当n≥2时，bn=

==

=2n．（n=1时也成立）．

∴数列{bn}的前n项和Sn=

=2n+1﹣2．

（3）解：，

cn=

=﹣=﹣．

∴数列{cn}的前n项和为Tn=

﹣=﹣．

Tn+1﹣Tn=

﹣=﹣

=，

可知：n=1，2，3时，Tn+1＞Tn； n≥4时，Tn+1＜Tn．

∴T1＜T2＜T3＜T4＞T5＞T6…， ∴T4为最大值．

∴取正整数k=4，使得对任意n∈N*，均有T4≥Tn．

23．已知椭圆C：

的焦距为

，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若

直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：坐标原点），则称直线l具有性质H． （1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；

...

（其中O为

...

（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的焦距为出椭圆C的方程．

（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（xm，ym），求出=﹣

，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．

，

，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求

（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H． 【解答】解：（1）∵椭圆C：

的焦距为

，∴c=

，

∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=∴a2=b2+c2=4， ∴椭圆C的方程为

．

，解得b=1，

（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2）， 其中y1，y2满足：设M（xm，ym）， ∵∴

，

（其中O为坐标原点），

=﹣

，

，

， 或x=﹣

． ，y1+y2=0，

∵点M在椭圆C上，∴∴49t2+4﹣t2=100，∴t=∴直线l的方程为x=

证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）， 使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，

∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：设M（xm，ym），则

，ym=

，

，

∵点M在椭圆上，∴+（

）2=1，

...