八年级数学第五章：数据的收集与处理 第3、4节北师大版知识精讲

初二数学第五章：数据的收集与处理 第3、4节北师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第五章：数据的收集与处理 第三节：频数与频率 第四节：数据的波动

二. 教学要求：

1、理解频数与频率等概念，并能绘制相应的频数分布直方图和频数分布折线图。能根据数据处理的结果，做出合理的判断和预测，从而解决实际问题，并在这一过程中体会统计对决策的作用。

2、了解极差、方差、标准差的概念，知道极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的统计量。熟练掌握方差的计算公式，并会用计算器计算一组数据的标准差与方差。理解一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

三. 重点、难点：

重点： 1、运用频数与频率概念以及相应的频数分布直方图进行数据处理，做出合理判断和预测。 2、运用极差、方差、标准差解决实际问题。 难点：

1、根据数据处理的结果，做出合理的判断和预测。 2、对极差、方差、标准差概念的理解。

四. 课堂教学： ［知识要点］

知识点1、有关概念

（1）频数：在数据的收集中由于某些对象出现的频繁程度不同，称每个对象出现的次数为频数。

（2）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=

频数

数据总数（3）频数分布直方图：对收集的数据可用适当的统计图表示出来，当收集的数据需连续取值时，可先将数据适当分组，然后再绘制出频数分布直方图。

（4）频数分布折线图：为了更好地刻画数据的总体规律，在频数分布直方图上取点，连线即得到频数分布折线图。

知识点2、频数与频率的区别与联系 频数 频率 区别 频数是落在一个小组内数据的个数，频数之和等于数据总数n。 频率是每一个小组的频数与数据总数的比值，频率之和等于1。 联系 频率是频数与数据总数的比值。

知识点3、如何绘制频数分布直方图

频数分布直方图反映了样本数据落在各个小范围内的多少，绘制一组数据的频数分布直方图的步骤有：

（1）计算最大值与最小值的差； （2）决定组距与组数，（数据越多，分的组数也应越多，当数据在100个以内时，通常按照数据的多少分成5——12个组，组距是指每个小组的两个端点之间的距离，一般要求各组的组距相等）

（3）决定分点 （4）列频数分布表

（5）画频数分布直方图。

对于一组已给出的数据，可以通过求平均数、中位数和众数来反映数据的平均水平，也可以通过求极差、方差和标准差来了解数据的离散程度，极差极易计算，但只对极端值比较敏感，方差计算比较复杂，但能比较全面地刻画一组数据的离散程度。

知识点4、定义

（1）极差：一组数据中最大数据与最小数据的差

（2）方差：各个数据与平均数据之差的平方的平均数，即

1x2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2],其中，x是x1,x2,?,xn的平均数，n

1222s2是方差，也可以简化成s2?(x1?x2???xn)?x2

n（3）标准差：方差的算术平方根，即s2

（4）数据的离散程度：把相对平均水平的偏离情况称为数据的离散程度。 说明：（1）极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的统计量，它们都是衡量数据波动的大小，极差、方差、标准差越大，波动性越大，也越不稳定。

（2）利用计算器可以很方便地计算出一组数据的标准差与方差，其大致步骤是：进入统计状态，输入数据，按键得出标准差。

知识点5、制定一个调查方案应具有的内容： 1、调查的目的 2、调查的问题 3、调查的对象 4、确定调查方式 5、调查如何选取样本 6、对调查数据如何处理 7、注意的问题

8、写出调查结果和调查报告。

【典型例题】

例1、如图，八年级1班在小制作评比活动中，评委会把5月1日到5月30日同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频数分布直方图，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：

（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？

（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？

分析：（1）频数分布直方图中的各长方形的高的比就是各组所占频数的比，第三组的频数占总数的

1，又因第三组的频数为12，可求得参赛作品的总件数。 5（2）由频数的比值大小可判别各组上交作品的多少。（3）获奖率=该足获奖作品件数÷该组参赛作品件数，即可比较大小。

解：（1）由

411?，知12??60

2?3?4?6?4?155则本次活动共有60件作品参加评比。

6?18,知第四组上交作品数量最多，共18件。 20105? （3）第四组获奖率为

1891?3 第六组上交的作品数量为60?202由第六组获奖率为

3（2）由60?故第六组获奖率较高。

例2、已知一个样本

25 21 23 25 27 29 25 28 30 29 26 24 25 27 26 22 24 25 26 28 （1）列频数分布表，

（2）绘制频数分布直方图， （3）绘制频数分布折线图。 解：（1）频数分布表 22以下 2 23－24 3 25－26 8 26－28 4 29－30 3 （2）—（3）频数分布直方图与折线图。

说明：注意图中各个小长方形的高对应着落在每个小组中的频数。

例3、要从甲、乙、丙三位射击运动员中选取一名参加比赛，在预选赛中，他们每人各打了10发子弹，命中的环数如下：

甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8 丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 根据这次成绩，应该选择谁去参加比赛？

分析：首先计算平均成绩，谁优越选谁，若平均数相同，则需计算方差，方差小的相对成绩稳定，应是选择对象。

解：经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93，93，91，所以丙应该先遭淘汰。

设甲、乙的命中平均环数为x1和x2,方差分别是s1和s则x1?x2?9.3

222

s1?s2221[(10?9.3)2?(10?9.3)2???(9?9.3)2]?0.21 101?[(10?9.3)2?(10?9.3)2???(8?9.3)2]?0.81 10因为0.21<0.81

且甲的极差为：10－9=1,乙的极差为:10－8=2

所以在总的成绩相同的条件下,应选择发挥稳定的运动员甲参加比赛。

说明：方差反映了一组数据在平均数左右波动的大小,在实际生活中应用极广,经常利用它来衡量一组数据的稳定性。

例4、若x1,x2,x3,?,xn的平均数是x,方差是s,a,b是常数，求 （1）x1?b,x2?b?2?xn?b的方差s12

2（2）ax1,ax2,?,axn的方差s2

（3）ax1?b,ax2?b???axn?b的方差s3

2