线性规划模型的应用与灵敏度分析

中国石油大学胜利学院本科毕业设计(论文）

CB 0 XB x3 x4 x5 x2 b 实际 x1 活动 x2 0 2 0 4 0 3 活动 x2 0 2 0 1 0 3 松弛 x3 1 1 0 0 0 0 松弛 x3 1 0 0 0 0 0 活动 x4 0 0 1 0 0 0 活动 x4 -2 1 -4 0 -2 2 x5 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 比值 R 3 2 4 - 比值 R 4 - 4 12 6 2 16 3 9 2 1 4 0 2 0 实际 x1 第二单纯形表 0 0 3 检验数行?j Zj 第三单纯形表CB 0 2 0 3 XB x3 x1 x5 x2 b 2 2 8 3 13 0 1 0 0 0 2 检验数行?j Zj

16

中国石油大学胜利学院本科毕业设计(论文）

第三章 灵敏度分析

灵敏度分析是研究与分析一个系统(或模型)的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在各种方案进行评价时都是很重要的[16]。

1. 边际值(影子价)qi

是指在最优解的基础上，当第i个约束行的右端项减少一个单位bi时，目标函数的变化量

f(x)?CBBb??(CBB?1)kbk

?1k?1mqi??f?x??1 ?CB??B'i?bii机会成本 zn?1??CBB?1??CBB?1Pn?1 因此

?z松弛变量，人工变量qi??n?l

?-zn?1剩余变量机会成本的另外表达形式

zj?CBBPj???CBB?1i?1m?1?a??qaijii?1miij

关于影子价的一些说明

①影子价是资源最优配置下资源的理想价格，资源的影子价与资源的紧缺度有关； ②松弛变量增加一个单位等于资源减少一个单位； ③剩余变量增加一个单位等于资源增加一个单位；

④资源有剩余，在最优解中就有对应松弛变量存在，且其影子价为0； ⑤影子价为0，资源并不一定有剩余。

17

中国石油大学胜利学院本科毕业设计(论文）

2. 价值向量的灵敏度分析

价值向量(即目标函数系数)的灵敏度分析分为原最终单纯形表中jc与非基变量和基变量对应两种情况来讨论[17]。

（1）若cj是非基变xj的系数，则其对应的最终单纯形表中的检验数为

?j?cj?CBB?1Pj

当cj变化?cj，要保证最终单纯形表的最优解不变，必有

?j?cj??cj?CBB?1Pj?0

保证最终单纯形表最优解不变，可得cj的允许变化值?cj

?cj?CBB?1Pj?cj

（2）若cr是基变量xr的系数，应有cr?CB,当cr变化?cr时，就引起CB的变化 这时

(CB??CB)B?1A?CBB?1A?(0,???,0,?cr,0,???,0)B?1A?CBBA??cr(ar1,ar2,???,am)若要求原最优解不变，必须满足?j?0。于是得到

?1

?cr可变化的范围是

3. 灵敏度的应用

(1)投入产出法中灵敏度分析

可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。

(2)方案评价中灵敏度分析

可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。

18

中国石油大学胜利学院本科毕业设计(论文）

第四章 应用设计实例

某农户计划用12公顷耕地生产玉米，大豆和地瓜，可投入48个劳动日，资金360元。生产玉米1公顷，需6个劳动日，资金36元，可获净收入200元；生产1公顷大豆，需6个劳动日，资金24元，可获净收入150元；生产1公顷地瓜需2个劳动日，资金18元，可获净收入1200元，问怎样安排才能使总的净收入最高。

设种玉米，大豆和地瓜的数量分别为x1、x2和x3公顷，根据问题建立线性规划问题模型如下：

Max Z=200x1+150x2+100x3

x1+x2+x3≤12 6x1+6x2+2x3≤48

(4-1)

36x1+24x2+18x3≤360 (4-2) x1≥0，x2≥0，x3≥0

1. 目标函数系数灵敏度分析

表4-1 目标系数的允许变动范围

活动 玉米种植x1 大豆种植x2 地瓜种植x3

目标系数 200 150 100

可减上限 50 无穷大

100/3

可增上限 100 50 100

可变范围 150~300 -?~200 200/3~200

当仅有一种目标系数在允许范围内变动时，最优方案不会变动，但最优目标值会随之变化。

2. 右边值敏感性分析

由线性规划的原理可知，影子价格不变的条件是最优解的松弛变量矩阵与右边值矩阵的乘积大于和等于0，即：

19