北京市海淀区2020届高三下学期一模考试数学试卷

此时f?(x)，f(x)随的变化如下： 可知

f?(x) f(x)min?f?0??1 (-?,0) ↘ 0 极小值 (0,+?) ↗ f(x) ，

函数f(x)的最小值为1.

（Ⅱ）由题意可知，x?（0,??).

令g(x)?ex?ax?lnx?1，则g'(x)?ex?1?a． x由（Ⅰ）中可知ex?x?1，故 ex?1?x． 因为a?（?2,0)， 则g'(x)?ex?11?a??x?1???a xx?2x?1?a?1?3?a?0． x所以函数g(x)在区间(0,??)上单调递增．

111a因为g()=ee+-2

ee又因为g(e)=ee+ae>e2-2e>0， 所以g(x)有唯一的一个零点.

即函数y?f(x)与y?1?lnx有且只有一个交点.

?c3，??a2??（20）解：（Ⅰ）由题?ab?2，

?222?a?b?c.???a?2，解得?

b?1.?

x2所以椭圆方程为?y2?1.

4（II）解法1

1证明：设直线A2M方程为y?k(x?2)(k?0且k??)，直线A1B方程为

21y?x?1

2?y?k(x?2),4k?24k?由?解得点P(,). 12k?12k?1y?x?1.??2?y?k(x?2)，?由?x2得(4k?1)x2?16k2x?16k2?4?0， 2??y?1.?416k2?4则2xM=.

4k2?18k2?2?4k所以xM=2，yM=2.

4k?14k?18k2?2?4k即M(2,).

4k?14k2?1kA1M?4k214k?2?1??. 8k?24k?24k2?111(x?2)，直线A2B的方程为y??x?1.

24k于是直线A1M的方程为y??1?y??(x?2)?4k?2?2?4k由?解得点Q(,) .

12k?12k?1?y??x?1??2于是xP?xQ，所以PQ?x轴. 4k?2?设PQ中点为，则点的纵坐标为2k?12k?1?1.

2故PQ中点在定直线y?1上. 从上边可以看出点在PQ的垂直平分线上，所以BP?BQ， 所以△BPQ为等腰三角形. 解法2

22?4y0?4. 证明：设M(x0,y0)(x0??2,y0??1)则x0

直线A2M方程为y?1y0(x?2)，直线A1B方程为y?x?1. x0?22y0?y?(x?2)，?x0?2?由?

1?y?x?1.??2解得点P(2x0?4y0?44y0,).

2y0?x0?22y0?x0?2y01(x?2)，直线A2B方程为y??x?1. x0?22直线A1M方程为y?y0?y?(x?2)，?x0?2?由? ?y??1x?1.??2解得点Q(2x0?4y0+44y0,).

2y0+x0?22y0?x0?2xP?xQ??2x0?4y0?42x0?4y0+4 ?2y0?x0?22y0+x0?22(x0?2y0?2)(2y0+x0?2)?2(x0?2y0+2)(2y0?x0?2)

(2y0?x0?2)(2y0+x0?2)222??(x0?2y0)?4)?(4?(x0?2y0)???(2y0?x0?2)(2y0+x0?2)?0.

于是xP?xQ，所以PQ?x轴. yP?yQ??4y04y0 ?2y0?x0?22y0+x0?24y0(4y0?4)4y0(4y0?4)??2. 2(2y0?x0?2)(2y0+x0?2)(2y0?2)2?x0故PQ中点在定直线y?1上. 从上边可以看出点在PQ的垂直平分线上，所以BP?BQ， 所以△BPQ为等腰三角形.

（21）解：（Ⅰ）①数列?an?具有“性质?(2)”；

②数列?an?不具有“性质?(2)”. （Ⅱ）先证“充分性”：

当数列?an? 具有“性质?(2)”时，有a2n?1?a2n?2an

又因为an?1?an，

所以0?a2n?an?an?a2n?1?0，

进而有an?a2n 结合an?1?an有an?an?1?????a2n,

即“数列?an?为常数列”； 再证“必要性”：

若“数列?an?为常数列”， 则有a2n?1?a2n?2a1?2an，

即“数列?an? 具有“性质?(2)”. （Ⅲ）首先证明：an?1?an?2.

因为?an?具有“性质?(4)”， 所以a2n?1?a2n?4an.

当n?1时有a2=3a1?3. 又因为a2n?1,a2n,an?N*且a2n?a2n-1， 所以有a2n?2an?1,a2n?1?2an?1, 进而有2an?1?a2n?a2n?1?1?2an?1?2， 所以2(an?1?an)?3,

结合an+1,an?N*可得：an?1?an?2. 然后利用反证法证明：an?1?an?2. 假设数列?an?中存在相邻的两项之差大于， 即存在k?N*满足：

a2k?1?a2k?3或a2k+2?a2k+1?3，

进而有

4(ak?1?ak)?(a2k?2+a2k+1)?(a2k+a2k?1) =(a2k?2?a2k)+(a2k+1?a2k?1)

=?(a2k?2?a2k?1)+(a2k+1?a2k)?+?(a2k+1?a2k)?(a2k?a2k?1)??9.

又因为ak?1?ak?N*， 所以ak?1?ak?3

依次类推可得：a2?a1?3，矛盾，

所以有an?1?an?2. 综上有：an?1?an?2， 结合a1?1可得an?2n?1，

经验证，该通项公式满足a2n?1?a2n?4an， 所以：an?2n?1.