行列式的几种求法

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。 一、逆序定义法

行列式的逆序法定义如下：

a11a21?an1a12??a1n???j1,j2,......,jna22?a2nan2?ann?(?1)?(j1,j2,......,jn)a1j1a2j2......anjn

这里，j1,j2,......,jn为1,2,...,n的任一排列，?(j1,j2,......,jn)为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有n!项，每项都是n个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下：

a11例1：求

a22?ann。

a11解答：

a22?ann?j1,j2,......,jn?(?1)?(j1,j2,......,jn)a1j1a2j2......anjn

只当j1?1，j2?2，……，jn?n，其项才可能非零。因此，

a11a22?ann

?(?1)?(1,2,......,n)a1,1a2,2......an,n?(?1)0a1,1a2,2......an,n?a1,1a2,2......an,nd1例2、求

d2?dnd1d2?。

解答：

?j1,j2,......,jn?(?1)?(j1,j2,......,jn)a1j1a2j2......anjn

dn只当j1?n，j2?n?1，……，jn?1，其项才可能非零。因此，

1

d1d2?dn?(?1)?(n,n?1,......,1)a1,na2,n?1......an,1?(?1)n(n?1)2d1d2......dn。

d1d2例3、求

?dn?1dnd1d2。

解答：?dn?1dn?j1,j2,......,jn?(?1)?(j1,j2,......,jn)a1j1a2j2......anjn

只当j1?2，j2?3，……，jn?1?n，jn?1时，其项才能非零，于是

d1d2?dn?1dn

二、按任意行或任意列展开

?(?1)?(2,3,4,......,n?1,n,1)a1,2a2,3......an?1,nan,1?(?1)n?1d1d2......dn?1dna11a21?an1a12?a1na22?a2n???an2?annni?ji?1??(?1)j?1ni?jMij??Aijj?1n

??(?1)Mij??Aiji?1n其中，Mij是原行列式划去第i行和第j列所成的行列式，称为i行j列位置上的余子式，而

Aij?(?1)i?jMij则称为i行j列位置上的代数余子式。至于各个Mij的计算，则继续按照此

递归定义计算下去。当然，必须说的是，如果单纯这样做，计算量也是相当之大的。不过，如果行列式中有大量零，可以考虑这种方法(没有零，就利用行列式性质弄出大量零)。以下举几个例子：

2

438例4、951。 276438519195解答：951?4?3?8?4?23?3?52?8?53?360

76262727630例5、

32解答：

614161414557455727。 6523423623647?1?356?5346?7345 627521521753032342563635356?3??4??2??3???17)?4?3?2?11??41

752527275362623236346?2???5??2?28?12?5?(?6)?14

463634215364353434345??6??4??1???6?11?4?13?3??17

272735217这样，

30326141455723423623647?1?356?5346?7345?1?(?41)?5?14?7?(?17)??23062752152175三、利用初等变换求行列式

利用初等变换求行列式是最常用的行列式求法。以下简单举几个例子：

11例6、

11

1200103010 043

解答：

1111120010301111111111111001?1?101?1?101?1?1????1?????(?2)??200?12?1001?2001?240?1?1300?22000?2a100b010?a20a例7、

bc解答：

c0 01?a2?b2?abc?a2?b2?c2?abc0abc0bc10001000100c100010001000100010001??(a2?b2?c2)

a100a?b010bc001c四、递归法求行列式

用递归法求行列式，必须寻找行列式的自相似结构。以下讲解几个例题： 例8、求解范德蒙行列式

1x1Dn?x12?x1n?1

1x22x21x32x3????1xn2xn ??n?1x2?n?1n?1x3?xn 4